Partiel integration

e^x tager du bare ud for sig selv. På e^2x*cos(x) kan du så bruge partiel integration. Om du integrer e^2x eller cos(x) er ligegyldig. Efter 2 partielle integrationer er du tilbage til at skulle integrere din startfunktion en gang til men med en talfaktor foran og et andet fortegn. Hvis du kalder det søgte integral I vil du altså have noget i retning af  I = g(x)-k*I. Den ligning kan løses med hensyn til I.

I 2) har du vistnok integreret forkert.. Efter første integration får du at skulle integrere e^2xsin(x) hvilket så som nævnt ovenfor fører tilbage til det oprindelige integral.

∫e^2xcos(x) dx = (1/2)e^2x·cos(x) + (1/2)·∫ e^2x·sin(x) dx = (1/2)e^2x·cos(x) +(1/2)²·e^2x·sin(x) -(1/2)²·∫ e^2x·cos(x) dx

Heraf ses så

(5/4)·∫ e^2x·cos(x) dx = (1/2)·e^2x·(cos(x) +sin(x)/2) , så

∫ e^2x·cos(x) dx = (2/5)·e^2x·cos(x) + (1/5)·e^2x·sin(x)

1)
          ∫e^2xcos(x))dx = e^2x·sin(x) - 2∫sin(x)·e^2xdx = e^2x·sin(x) - 2((-cos(x))·e^2x + 2∫cos(x)·e^2x)

                               = e^2x·sin(x) + 2cos(x)·e^2x - 4∫e^2xcos(x)·
hvoraf

        5∫e^2xcos(x))dx = e^2x·sin(x) + 2cos(x)·e^2x = (sin(x) + 2cos(x))e^2x

         ∫e^2xcos(x))dx = (1/5)·((sin(x) + 2cos(x))·e^2x

       
således er

         ∫(e^x + e^2xcos(x))dx = ∫e^xdx + ∫e^2xcos(x))dx = e^x + (1/5)·((sin(x) + 2cos(x))·e^2x + k

ad 2) 2) ∫(e^x + e^2xcos(x) + e^2xx² + 2e^2xx - 3e^2x)dx

1. led for sig, 2. led i 1), 3. og 4. led ved partiel med x² og x som dem, der differentieres, og endelig 5. led for sig. 

#2

Hvad laver du efter når du skriver "Heraf ses så...."

Kan ikke helt gennemskue det.

#5

Jeg flytter leddet (1/2)²·∫ e^2x·cos(x) dx over på venstre side, så der i alt er (5/4)·∫ e^2x·cos(x) dx på venstre side og kendte funktioner på højre side.

#6

Jeg er ikke  helt med.

Det sidste vi kom frem til var (jeg er med så langt):

(1/2)e^2x·cos(x) +(1/2)²·e^2x· sin(x) -(1/2)²·∫ e^2x· cos(x) dx

Hvor ser du et lighedstegn her?

#7

Det er dig, der skærer lighedstegnet væk. Det hele er jo lig med det, vi startede med:

∫ e^2x·cos(x) dx = (1/2)e^2x·cos(x) +(1/2)²·e2x· sin(x) -(1/2)²·∫ e^2x· cos(x) dx , så i alt er

(5/4)·∫ e^2x·cos(x) dx = (1/2)e^2x·cos(x) +(1/2)²·e^2x· sin(x)

 i 2)

      benyt
                       ∫x·e^2xdx = (1/2)·x·e^2x - (1/2)·∫e^2xdx = (1/2)·x·e^2x - (1/2)²·e^2x = (1/2)·(x - (1/2))·e^2x

      og

     ∫x²·e^2xdx = (1/2)·x²·e^2x - 2·(1/2)·∫x·e^2xdx = (1/2)·x²·e^2x - (1/2)·(x - (1/2))·e^2x + k = (1/2)·(x²-x+(1/2))e^2x + k

#7

Ja, giver mening nu. Tak.

#3

Tak for hjælpen også. :-)

#4 og #9

Tak for jeres hjælp. Har nu lavet begge opgaver.

Et generelt spørgsmål:

Jeg er i gang med at løse differentialligninger, som har den fuldstændige løsning givet ved:

y = e^-∫(P(x))dx · [∫(e^∫(P(x)dx · Q(x))dx + C]

I mine beregninger, så har ikke taget integrationskonstanten fra e^-∫(P(x))dx (det første jeg ganger ind med) i betragtning. F.eks. har jeg i [∫(e^∫(P(x) · Q(x))dx + C] C stående, som står for integrationskonstanten. Denne kan bestå af summen af integrationskonstanten fra e^∫(P(x))dx og konstanten der kommer fra det partielle integration. Hvad med konstanten fra e^-∫(P(x))dx? Håber, at der er nogle, der forstår min forvirring, og kan komme med et bud på det. :-)

Da e^{-∫(P(x))dx+c} = e^ce^-∫(P(x))dx og du ved at gange ind i din ligning får C*e^-∫(P(x))dx har du egentlig konstanten 2 gange med den forskel at konstanten C også kan være negativ eller 0

#12

Hmm, den forstod jeg ikke.

For at være helt præcis, så skulle man altså skrive:

y = e^{-∫(P(x))dx + C1} · [∫(e^{∫(P(x)dx + C2} · Q(x))dx + C₃]

y = e^C1e^-∫(P(x))dx · [∫(e^C2e^∫(P(x)dx · Q(x))dx + C₃]

Var det muligt at samle alle konstanter sammen til én, eller?

#13

Man betragter en stamfunktion til P(x) . Det er den samme stamfunktion, der figurerer inde i parentesen og udenfor. Derfor er C₁ = C₂ (du har en fortegnsfejl på et af leddene), og derfor går den ud, og der bliver kun den sidste konstant C₃ tilbage.

Det skal være samme stamfunktion  til P(x), der hvor den forekommer så c1=-c2

Og hvis du fortsætter

y = e^c1-c1e^-∫(P(x))dx ·[ ∫e^∫(P(x)dx · Q(x))dx + C3] = e⁰e^-∫(P(x))dx · ∫e^∫(P(x)dx · Q(x)dx + e⁰ e^-∫(P(x))dx *C3= e^-∫(P(x))dx · ∫e^∫(P(x)dx · Q(x)dx + *c3*e^-∫(P(x))dx

#14 og #15

Hvis det er den samme stamfunktion vi er ude efter - lad os antage at P(x) = x, så får vi:

e^{-∫(P(x))dx + C1} = e^{-1/2 · x + C1}

e^{∫(P(x))dx + C2} = e^{1/2 · x + C2}

Hvis C₁ = - C₂, så bliver stamfunktion da ikke det samme?

#16

Det første udtryk skal jo have e^{-∫(P(x))dx - C1} , med mindre du sætter en parentes omkring -(∫(P(x))dx + C1) . Konstanten C1 hører med til stamfunktionen for P(x) .

Husk på at der er en fortegnsfortegnsforskel. Hvis du kalder stamfunktionen til P for A(x) +c så er -P = A(x)-c så du får i dine 2 udtryk henholdsvis e^-A-c og e^A+c

#16

Ah, jeg forstår. Her gælder C₁ = - C₂.

Hvordan flyttes konstanterne i #15 (første trin)?

Konstanterne flyttes da ikke, så hvad mener du?