Funktion

Man ser da netop på billedet,at h = -10cm til t = 0. Ifølge opgaven angiver h højden over hvilestillingen.

b) Man skal løse ligningen h(t) = 7.

Hvis man trækker 10 cm, er det den tid, der starter, dvs t = 0. Og det tager h(t) = 0 ⇔ t = 0.314159 for at komme på stregen af hvilestillingen. Men i denne opgave siger noget om "over" hvilestillingen, betyder det, at fuglen fortsætter med at flyve over stregen efter man har slippet ved t = 0? Jeg mener så, at t=5.81395 or t=5.49579 or t=4.55731 or t=4.23915 or t=3.30067 or t=2.98251 or t=2.04404 or t=1.72588 or t=.787398 or t=.469239

Hvis man aflæser på grafen, vil jeg sige, at det skal være t =.469239

#2 hvilestillingen er sat til x-aksen hvor den så kører op og ned mellem -10 og 10, som vises i a)

og ja første gang h(t)=7 er for t=(1/5)*Pi-(1/5)*arccos(7/10)≈0.469239

Okay tak #3.

Funktionen h(t) kan også skrives

h(t) = 10·sin(5t - π/2) = -10·cos(5t) , t ∈ [0;6] .

Ligningen h(t) = 7 fører da til

cos(5t) = -7/10 ⇒ 5t = cos^-1(-7/10) +p·2π, p ∈ Z ∨ 5t = -cos^-1(-7/10) + q·2π, q ∈ Z

Der dannes løsninger i intervallet [0;6] for værdierne p = 0, 1, 2, 3, 4 og for q = 1, 2, 3, 4, 5 , og den mindste af disse værdier er værdien for p = 0, dvs

t = cos^-1(-7/10) / 5 ≈ 0,469239

#6

Tak ... Kan du forklare mig hvad p ∈ Z eller q ∈ Z betyder? (Jeg forstår det som, at p eller q der skal være hele tal) Eller hvilken "regel" bruger du til at tilføje p·2π (det samme med q·2π) efter have sat arccos på begge sider og hvorfor? Jeg har læst lidt om det i nogle steder på nettet & bøger, men forstod det ikke rigtigt. Det drejer sig kun om de trigonometriske funktioner. Kan du forklare mig det, (hvis du har tid)?

#6

p ∈ Z betyder, at p gennemløber mængden af de hele tal Z . Man benytter, at funktionen cos(x) er periodisk med perioden 2π .

I intervallet [0;2π] har ligningen cos(x) = y , (-1 ≤ y ≤ 1) de to løsninger

x = cos^-1(y)   eller   x = 2π -cos^-1(y) ,

og man får samtlige løsninger til ligningen ved at lægge alle hele multipla af 2π til disse to løsninger.

#7

Tak for forklaringen. Jeg synes det er kompliceret at forstå ...

Hvis man fx har en funktion, 3/4 = sin(x) , x ∈ [2 ; 6] ..

3/4 = sin(x) ⇔ x = sin^-1(3/4) + p·2π  ∨  cos^-1(3/4) + q·2π , {p,q} ∈ Z

hvor p = 2, 3, 4, 5 og q = 3, 4, 5, 6   - vi vælger den mindste værdi, så p = 2

x = sin^-1(3/4) + 2·2π = 10.6571. Den ser forkert ud ... Er det lige meget hvordan p og q skal opstilles?

#8

Nej, det er ikke rigtigt. I intervallet [0;2π] har ligningen sin(x) = y , (-1 ≤ y ≤ 1) de to løsninger

y = sin^-1(y)    eller    y = π -sin^-1(y)

Ligningen sin(x) = 3/4 har da løsningerne

x = sin^-1(3/4) + p·2π ∨ x = π -sin^-1(3/4) + q·2π  , p,q ∈ Z .

Der er slet ingen værdier for hverken p , der producerer en løsning i intervallet [2;6] og kun værdien q = 1 producerer en løsning i intervallet [2;6] .

#9

Okay, jeg må lige læse om det først (viden er meget meget meget meget meget vigtigt), så kommer jeg tilbage på et andet tidspunkt med et andet (lignende) spørgsmål, hvis det er ok. Tak for din tid.

#10

Det er ved den slags trigonometriske ligninger nyttigt at tegne en enhedscirkel, så det er nemmere at forestille sig, hvor løsningerne ligger. Derudover benytter man, at sin(x) og cos(x) er periodiske med perioden 2π , og at

sin(x) = sin(π-x) , og

cos(x) = cos(-x) .

Det vil sige:

Har man fundet et x, hvis sinus har den ønskede værdi, vil  π-x  have samme sinusværdi, og alle værdier, der fremkommer af de to tal ved at lægge hele multipla af 2π dertil vil have have samme sinus.

Har man fundet et x, hvis cosinus har den ønskede værdi, vil -x have samme cosinusværdi, og alle værdier, der fremkommer af de to tal ved at lægge hele multipla af 2π dertil vil have samme cosinus.

Hej

Jeg har lige fået udleveret denne opgave, og er nysgerrig hvis nogen kunne fortælle mig hvorfor vi regner i radianer? :)

  trigonometriske funktioner

                                      regnes næsten altid i radianer
               medens
                                      konkrete vinkler i geometriske figurer eller mellem vektorer hyppigst regnes i grader

Når jeg så prøver at lave en graf i radianer, hvordan kan det så være at ved at kigge på den, er t-værdien til højden 7cm = 9,1..
Hvilket t = cos-1(-7/10) / 5 f.eks. giver når man regner i grader?? :)

                                                                  x radianer = x·(180/π) grader

                                                                  x grader = x·(π/180) radianer