Matematik

Vektorer i rummet - opgave.

26. marts 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej givet følgende opgave:

Opgave. Der er givet en linje l:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + t * (1, 2, 3) og
et punkt P(0, 1, 0).
a) Vis at punktet P ikke ligger på linjen l.
b) Bestem en ligning for planen, der
indeholder både linjen l og punktet P.

Jeg kan starte med at skrive hvad jeg selv har tænkt på.

i a) Har jeg tænkt, at jeg vil indsætte punktet i parameterfremstillingen hvorefter jeg vil undersøge om der kommer samme værdi ud af (x,yz)

Den kunne jeg tilgengæld godt bruge et hint til. Det må være noget med at finde en vektor ud fra det punkt der er opgivet og det punkt som linjen strejfer?

Mvh.

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. marts 2014 af mathon

Indsæt punktkoordinaterne og vis at punktet ikke opfylder parameterligningen

$\begin{pmatrix} x\\y \\x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \\3 \end{pmatrix}$

Svar #2
26. marts 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)

Hvilken plads skal jeg indsætte punktkoordinaterne på? (x,y,z) eller t?

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Punktet er (x,y,z) .

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. marts 2014 af mathon

Vis at

        0=1+t
                        1=2t
                        0=3t

ikke giver samme t-værdi

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. marts 2014 af mathon

$\overrightarrow{OP}\times\begin{pmatrix} 1\\2 \\ 3 \end{pmatrix}$ er en normalvektor til den søgte plan.

$\vec{n}=\begin{pmatrix} 0\\1 \\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\0 \\ -1 \end{pmatrix}$

Svar #6
26. marts 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)

Ok, og det kan jeg jo gøre ved at isolere t i ligning 1 og 2, hvorefter det kan ses, at t bliver hhv. t = -1 og t = 0.5

I opgave b skal jeg bestemme en ligning for planen, og jeg ved jo, at planen skal skrives som a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0) = 0, men jeg skal finde en normalvektor. Hvordan gør jeg det?

Svar #7
26. marts 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)

Ok, men hvordan får jeg det med, at den skal gå igennem P(0,1,0)??

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Punktet P(0,1,0) er jo punktet (x₀,y₀,z₀) i planens ligning.

Svar #9
26. marts 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)

Okay, og så kan jeg indsætte mit punkt? Kan det passe, at ligningen for planen således bliver:

1(x-0)+2(y-1)+3(z-0)=0?

Som indeholder både l og P? (Det kan selvfølgelig reduceres)

Brugbart svar (0)

Svar #10
26. marts 2014 af mathon

Den søgte plans punkter kan, når Q = (x,y,z) er et vilkårlig punkt i planen og R = (1,0,0)
udtrykkes ved, at
$\vec{n}\cdot\overrightarrow{ RQ}=0$
.

$\begin{pmatrix} 3\\0 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-0\\y- 1\\ z- 0\end{pmatrix}=0$

3x-z=0

Svar #11
26. marts 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)

#10 Så, det er den måde jeg skal finde mine punkter på? Dvs. #9 er forkert?

Svar #12
26. marts 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)

Tak! Men Mathon, kan du forklare hvorfor #10 gælder?

Brugbart svar (0)

Svar #13
26. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Hvis R og Q er to forskellige punkter i planen, vil vektoren RQ altid stå vinkelret på planens normalvektor n .

Svar #14
26. marts 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)

Ok. Ved vektor $\overrightarrow{OP}$ hvilke punkter menes der her? Jeg kan godt se P må være det opgivet punkt, men hvad er O ?

Brugbart svar (0)

Svar #15
26. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

#14

O er koordinatsystemets begyndelsespunkt. Stedvektoren til et punkt har samme koordinatsæt som punktet selv.

Svar #16
26. marts 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)

Jamen hvad er begyndelsespunktet i mit tilfælde?

Brugbart svar (0)

Svar #17
26. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

#16

Koordinatsystemets begyndelsespunkt har altid koordinatsættet (0,0,0) .

Brugbart svar (0)

Svar #18
26. marts 2014 af mathon

Vektorer er mængder af ensrettede ækvidistante linjestykker, såkaldte vektorrepræsentanter, som du kan indlægge hvor som helst. Her er det praktisk at indlægge OP og n i P(0,1,0).

Planens punkter Q(x,y,z) er da karakteriseret ved,
at
PQ er vinkelret på n dvs n•PQ = 0 uanset hvor i planen Q vælges.

Svar #19
27. marts 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)

Hej bliver ligningen for planen ikke 3x + 3y - 3z -3 = 0 ??

Vi har lige gennemgået den på tavlen, og det får vi som resultat.

Brugbart svar (0)

Svar #20
27. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

#19

Linien er givet ved punktet Q(1,0,0) og retningsvektoren r = [1,2,3], og både linien og punktet P(0,1,0) skal ligge i planen, så en normalvektor er vektoren

n = QP × r = [-1,1,0] × [1,2,3] = [3,3,-3] = 3·[1,1,-1] .

En ligning for planen er da

1·(x-0) + 1·(y-1) -1·(z-0) = 0 , dvs.

x + y -z -1 = 0

som jo er ækvivalent med din ligning.

Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.