Matematik

Differentialkvotient - Sammensat funktion

29. april 2014 af Esterificering (Slettet) - Niveau: B-niveau

Jeg vil gerne vide om hvordan jeg kommer videre herfra (og om det jeg er nået frem til er rigtigt)

$f(x)=\sqrt{x}$

g(x)=x^2+x-2

Bestem ligningen for tangent til grafen for f(g(x)) i punktet P(2,f(g(2))

Jeg har gjort følgende:

$f(g(x))=\sqrt{x^2+x-2}$

Så differentierer jeg først andengradsligningen under roden:

$f'(g(x))=\sqrt{2x+1}$

Og herefter differentierer jeg roden:

$f'(g(x))=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}$

Inden jeg går videre, til at indsætte mine punkter i tangentens ligning og udregne ligningen, vil jeg gerne være sikker på om min fremgangsmåde er korrekt indtilvidere ?

Mange tak - Tino

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. april 2014 af jnl123

(f(g(x))' = f '(g(x))*g '(x)

Svar #2
29. april 2014 af Esterificering (Slettet)

men er f'(g(x)) rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. april 2014 af jnl123

f'(x) = 1/(2*sqrt(x))

g(x) = x^2+x-2

f'(g(x)) = 1/(2*sqrt(x^2+x-2))

Svar #4
29. april 2014 af Esterificering (Slettet)

Så f-mærke af den sammensatte funktion er altså bare $\sqrt{x}$ differentieret og g(x) indsat ?

$f'(g(x))=\frac{1}{2\sqrt{x^2+2-2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. april 2014 af jnl123

Brugbart svar (1)

Svar #6
29. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Benyt udtrykket for den afledede af en sammensat funktion:

$\left ( f(g(x)) \right )'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Man har så

$\left ( \sqrt{x^{2}+x-2} \right )'=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+x-2}}\cdot \left ( x^{2} +x-2\right )'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x-2}}$

Svar #7
29. april 2014 af Esterificering (Slettet)

Er dette så korrekt?

$f'(x_{o})=\frac{2\cdot 2+1}{2\sqrt{2^2+2-2}}=\frac{5}{4}$

$y_{0}=f(g(2))=\sqrt{x^2+x-2}=\sqrt{2^2+2-2}=2$

$y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})=\frac{5}{4}(x-2)+2=\frac{5}{4}x-\frac{1}{2}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej, det er jo (f^_og)'(2) der er lig med 5/4 , ikke f '(2) , men det er selvfølgelig den værdi, der skal benyttes, så tangentligningen er korrekt til sidst.

Det er ikke korrekt at kalde det f '(x₀) og f(x₀), når der menes (f^_og)'(x₀) og f(g(x₀)) .

Svar #9
29. april 2014 af Esterificering (Slettet)

Nej det er selvfølgelig klart, der er forskel på udtrykkene.

Er dette så mere korrekt?

$(f(g(2))'=\frac{2\cdot 2+1}{2\sqrt{2^2+2-2}}=\frac{5}{4}$

Brugbart svar (1)

Svar #10
29. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, men man bør skrive det (f^_og)'(2) , for f(g(2)) er jo en konstant, hvis differentialkvotient er lig med 0. Man benytter differentialkvotienten af funktionen (f^_og), ikke differentialkvotienten af f(g(2)) .

Svar #11
29. april 2014 af Esterificering (Slettet)

Det er noteret.
Mange tak for hjælpen (endnu en gang)

Skriv et svar til: Differentialkvotient - Sammensat funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.