Ligning til tangent?

Kald koordinaterne for tangentens røringspunkt med cirklen for S(x,y) C cenrtrum for cirklen. Der gælder så OC+CS = OS

Hvad er O??

Forstår ikke rigtig noget.... kan du skære det lidt mere ud i pap? 
Det skal lige nævnes jeg ikke har haft om calculus, differential og vektorer endnu.

O står for origo. Den sidste giver heller ikke noget ved nærmere eftertanke. Du kan derimod bruge Pytagoras , hvilket giver OC²=CS²+OS²
 

Fatter stadig ikke noget... men mener du, at man danner en retvinklet trekant og findet længden? For den løsning vil jeg helst ikke bruge.... Jeg vil gerne bruge den, for jeg isolerer en ubekendt og så indsætter udtrykket og et eller andet.

Det udtrykker længder hvor du kender længden af CS og OC. Ligningen i #3 giver en andengradsligning i x og y. Du kan supplere med CS·OC = 0 Lav først og frememst en tegning med de angivne punkter. Det forklarer det meget bedre end jeg kan klare rent sprogligt

Kan du forklare det lidt bedre ud fra dette?

Må indrømme jeg er ret blank.

Nu har du givet punkterne nogle andre navne end dem jeg kaldte dem. Jeg holder mig til dine navne. Punktet C har koordinaterne (x,y)

Find vektorene BA, AC og BC, De 2 sidste vil have koordinater udtrykt ved x og y

AC og BC står vinkelret på hinanden så der gælder AC·BC = 0. Resultatet vil indeholde x og y.

ABC er en retvinklet trekant så der gælder:

BC²+AC² = AB²

Her kender du |AC| idet det er radius i cirklen. |AB| kan du let finde.

Du har nu to ligninger i de to ubekendte x og y, som du må løse.  Når du har fundet koordinaterne for C og D vil det være nemt at finde tangenternes ligning

Hvad mener du med, at AC·BC = 0? Hvorfor er produktet af de to sider lig 0, bare fordi de står vinkelret på hinanden?

Jeg forstår godt det med at finde AB-længden, men hvad så når jeg har den? Forstår ikke det med, at jeg nu er nået frem til to ligninger.

Og med vektorer, mener du så bare længden? (for som nævnt har jeg altså ikke haft om vektorer, men så vidt jeg ved, er det en størrelse med en retning?)

.

  |BC|² = |BD|² = |BA|² - r² = 4² + 1² - 2² = 13

       C og D ligger på cirklerne
            (x-4)² + (y-1)² = 2²                 og             x² + y² = √(13)²

            x² - 8x +16 + y²- 2y + 1 = 4  
            (x²+ y²) - 8x + 17 - 2y = 4         
            13 + 17 - 4 = 8x + 2y  
             26 = 8x + 2y  
             y = 13 - 4x       som indsat i    x² + y² = 13
giver
            x² + (13-4x)² = 13
hvoraf
            x² + 169 - 104x + 16x² = 13
            17x² - 104x + 156 = 0

Forstår ikke: |BC|2 = |BD|2 = |BA|2 - r2 = 42 + 12 - 22 = 13 ?.... Og facit for de to tangenter er  y = 0,93x og y = -0,27x ....?

#11

     De to tangenter gennem (0,0)
     har ligningen
                                  y = a·x og x og y skal opfylde    y = 13 - 4x
     hvoraf
                                
     så du har:
                               

     hvoraf ligningerne for de to tangenter gennem (0,0):

#11

                          |BC|² = |BD|² = |BA|² - r²

                          |BC|² = |BD|²                               |BC|² = |BA|² - r^{2
                 tangentvinklens ben er lige lange                  Pythagoras i anvendelse}

Okay, forstår det lidt bedre nu... Hvor får du x² + y² = √(13)² fra??

Okay, jeg har fået lidt hjælp nu... så du danner altså en ny cirklen med centrum i nulpunktet, der også skærer C og D, og som har længden BC som radius? Med formlen:  x² + y² = √(13)² 
Fordi: (x-0)² + (y - 0)² = √(13)²  er det samme som:  x² + y² = √(13)² 

#15
             Netop!

Arh okay :-) Hvis bare du havde sat lidt ord på det, havde jeg hurtigt forstået det meget bedre!

Så du ved, at vi kan finde længden BC. Det udnytter du til at lave en ny cirkel med netop den længde som radius, for så har vi to ligninger for to cirkler, der skærer hinanden; og for at finde ud af, hvor de skærer hinanden, kan vi sætte dem over for hinanden - og dermed har vi to ligninger med to ubekendte (det er sådan hele idéen i at lave en ny cirkel, ikke?).

Så isolerer du udtrykket for y i den ene ligning, indsætter den i den anden ligning for at finde x, som du får to løsninger af. 
Det eneste, vi ved om de to tangenters ligning, er at de er stillet op på formen: y = ax + b.
Men vi kender allerede udtrykket for y i den anden cirkels ligning nu: y = 13 - 4x.
Dem stiller du så over for hinanden, isolerer a i den ene og indsætter udtrykket for y (13-4x) ind og ordner ligningen lidt. For at finde hældningstallet a mangler vi nu kun at indsætte de to værdier for x, som du så sætter ind, og så har vi de to tangenters hældningstal.

Og b er bare 0 (fordi de går gennem origo), og så har vi dermed de to ligninger.

Korrekt?

De to tangenters ligning, er på formen:

da de begge går gennem (0,0).

Nårh ja okay... hvis de nu ikke gik gennem origo, men et vilkårligt sted ude i koordinatsystemet, så ville man ikke kunne bruge samme metode, eller hvad?