grænser for vækst

Opstil to eksponentielle funktioner. Sæt dem lig med hinanden og løs ligningen.

f(x) =  6 • 10⁹ • 1,02^x

g(x) = 1 • 10⁶ • 1,15^x

Løs f(x) = g(x)

Jeg er ikke helt sikker på jeg forstår hvad du mener?

Du opstiller to funktioner, typisk benævnt f(x) og g(x), som hver for sig beskriver hvordan hhv. befolkningstallet og antallet af matematikere vokser, og givet oplysningerne i #0 kan vi opstille to eksponentielle modeller, af formen y = b * a^x, hvor den afhængige variabel y angiver antallet af mennesker/matematiker efter x år. 

Sætter du disse lig hinanden og løser for x, vil du få det antal år som det vil tage før alle mennesker er matematikere ifølge modellerne. 

Jeg er slet ikke sikker på jeg forstår hvad det er jeg skal. jeg har prøvet at gøre noget, som jeg har vedhæftet i et billed. 

men forstår ikke det med at man sætter dem lig hinaden?

Funktion f = antallet af mennesker efter x år.

Funktion g = antallet af matematikere efter x år.

Du vil beregne, hvornår disse er lig hinanden. Så derfor sætter du dem lig hinanden, og beregner den x værdi som opfylder denne lighed. 

Således skal du løse følgende

f(x) = g(x)

.... for x, hvor du selvfølgelig erstatter f(x) og g(x) med de reelle funktioner angivet i #1. 

#5

Funktionen f(x) angiver det samlede antal mennesker som funktion af x, hvor x er antal år regnet fra nu af.

Funktionen g(x) angiver antallet af matematikere som funktion af x, hvor x er antal år regnet fra nu af.

Opgaven spørger (urealistisk) om, hvornår alle mennesker på Jorden vil være matematikere, ifølge disse forenklede modeller. For at besvare det spørgsmål skal man derfor løse ligningen

        f(x) = g(x) ,

dvs.

        6·10⁹ · 1,02^x = 1·10⁶ · 1,15^x ,

eller

        1,15^x / 1,02^x = 6·10⁹ / (1·10⁶) , eller

        (1,15/1,02)^x = 6·10³ .

Tag nu log() på hver side og isoler x.

Hvordan tager man log() på hver side?

Benyt logaritmeregnereglen : a^x = b     ⇔    log(a^x) = b      ⇔     x • log(a) = b 

(^1,15/_1,02)^x = 6 · 10³ 

log( (^1,15/_1,02)^x ) = 6 · 10³

x • log(^1,15/_1,02) = 6 · 10³

x =  ....

okay, mange tak!

9# Smart

#11

Jo, men log() mangler jo i #9 i de to sidste ligninger. Af

         (1,15/1,02)^x = 6·10³

finder man så

        x · log(1,15/1,02) = log(6·10³) ,

og dermed

        x = log(6·10³) / log(1,15/1,02)

Fuldstændig korrekt. Det var noget af en smutter, som jeg lavede''deroppe''.

Selvfølgelig er det: a^x = b     ⇔    log(a^x) = log(b)      ⇔     x • log(a) = log(b)