Eksamen! Rumgeometri: Fra punkt til plan

                          (-ax-by-cz) = d

#1

                          (-ax-by-cz) = d

Ja, men hvorfor??

Vær opmærksom på, at udråbstegnet (!) har en særlig betydning i matematiske formler, så lad være med at klistre det op ad matematiske symboler, hvor det ikke er relevant.

En ligning for en plan α i rummet har formen

        ax + by + cz + d = 0

Her er vektoren n = [a,b,c] en normalvektor til planen. Hvis P(x,y,z) er et vilkårligt punkt i planen og
P₀(x₀,y₀,z₀) er et vilkårligt punkt i rummet, finder man afstanden fra punktet P₀ til planen α ved at beregne længden af projektionen af vektoren PP₀ på vektoren n , dvs.

        dist(P₀,α) = |PP_{0 n}| = |PP₀ • n| / |n| = |(x-x₀)·a + (y-y₀)·b + (z-z₀)·c| / |n|

                                                                = |x₀·a + y₀·b + z₀·c + d| / √(a² + b² + c²) ,

idet     ax + by + cz = -d , da punktet P(x,y,z) er et punkt i planen og derfor tilfredsstiller planens ligning.

#2

planen   ligning med normalvektor
                                                               indeholdende punktet