Matematik

28. september 2014 af kiiiim (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej nu får i hele opgaven, men skal egentlig kun bruge hjælp med nr. c:)

I en model betegner N antal traner i en tranebestand i Hokkaido området i Japan. I modellen antages det, at N som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen:

dN/dt = 0,00029*N*(1500-N)

t er antal år efter 1975 og dN/dt er væksthastigheden.

a) Bestem tranebestandens væksthastighed, da de var 500 traner i bestanden.

Det oplyses, at tranebestanden i 1975 var 194 traner.

b) Bestem en forskift for N.

c) Bestem det tidspunkt hvor tranebestandens væksthasrighed, var størst.

Hvordan finder man det tidspunkt hvor tranebestandenshastighed er størst? - ved ikke hvad jeg skal gøre. Er der en der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. september 2014 af mathon

a)
dN/dt = 0,00029*500*(1500-500)

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. september 2014 af mathon

differentialligningen
dN/dt = 0,00029*N*(1500-N)
har løsningen
$N(t)=\frac{1500}{1+C\cdot e^{-0,00029\cdot 1500\cdot t}}\; \; \; \; \; 0< N(t)< 1500$

$N(t)=\frac{1500}{1+C\cdot e^{-0,435 t}}$

for at bestemme monotonien for $\frac{\mathrm{d} N(t)}{\mathrm{d} t}$

Svar #3
28. september 2014 af kiiiim (Slettet)

Det har jeg også fundet ud af, men ved ikke hvordan man det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst. Har kun problemmer med opgave c.

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. september 2014 af LeonhardEuler

Differentier ^dN/_dt og sæt den lig med 0 og find maksimum ved at løse ligningen

Svar #5
28. september 2014 af kiiiim (Slettet)

Problemmet er bare at jeg ikke ved, hvordan man finder maksimum

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. september 2014 af mathon

for at bestemme monotonien for $\frac{\mathrm{d} N(t)}{\mathrm{d} t}$
beregnes
$\frac{\mathrm{d}^2N }{\mathrm{d} t^2}= \left ( 1500-2N \right )\cdot \left (0,00029\cdot\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} \right )$
hvor

$0,00029\cdot\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}> 0$

hvorfor fortegnet for $\frac{\mathrm{d}^2N }{\mathrm{d} t^2}$ kun bestemmes af fortegnet for 1500-2N

for 0 < N < 750 er $\frac{\mathrm{d}^2N }{\mathrm{d} t^2}> 0$ , hvorfor $\frac{\mathrm{d}N }{\mathrm{d} t}$ er monotont voksende
for 750 < N < 1500 er $\frac{\mathrm{d}^2N }{\mathrm{d} t^2}< 0$ , hvorfor $\frac{\mathrm{d}N }{\mathrm{d} t}$ er monotont aftagende

$\frac{\mathrm{d}N }{\mathrm{d} t}$ er derfor størst for $N(t)=\frac{1500}{2}$

Svar #7
28. september 2014 af kiiiim (Slettet)

Vil det sige at man skal anvende montiforholdne?

Brugbart svar (1)

Svar #8
28. september 2014 af mathon

hvoraf

$\frac{1500}{2}=\frac{1500}{1+C\cdot e^{-0,435 t}}$

$1+C\cdot e^{-0,435 t}=2$

$C\cdot e^{-0,435 t}=1$

$e^{-0,435 t}=C^{\, -1}$

$e^{0,435 t}=C$

$0,436t=\ln(C)$

$t=\frac{\ln(C)}{0,436}$

Væksthastigheden er størst til tiden
$t=\frac{\ln(C)}{0,436}$

..............

$194=\frac{1500}{1+C\cdot e^{-0,435\cdot 0}}$

$1+C=\frac{1500}{194}$

$C=\frac{1500-194}{194}=\frac{1306}{194}=6,73196$

$N(t)=\frac{1}{1+6,73196\cdot e^{-0,453\cdot t}}$

Skriv et svar til: Matematik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.