Matematik

Partiel integration

13. oktober 2014 af strangers - Niveau: A-niveau

Hej venner

Jeg sidder med denne opgave og småkæmper lidt :

∫x³*e^x dx

jeg smider bare udtrykkene ind i formlen og får

x³*e^x - ∫3x²*e^xdx

Jeg har nu lavet partiel integration igen ved den sidste havldel af udtrykket

jeg får da

3x^2*e^x- ∫6x*e^x dx ----> 3x²*e^x - 3x²*e^x

Nu smider jeg det ind i formlen foroven

x³*e^x - 3x²*e^x - 3x²*e^{x --->}x³*e^x-6x²*e^x

^{Det er bare forkeret ifgl facitlisten :S hvad gør jeg forkert?}

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. oktober 2014 af peter lind

Det er integrationen ∫6x*e^x.dx der går galt. Du skal foretage endnu en partiel integration. differentier 6x og integrer e^x

Svar #2
13. oktober 2014 af strangers

Ouuuh, jeg har integreret 6x :S

Ej tusind tak!!!

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. oktober 2014 af mathon

$\int x\cdot e^{kx}dx=\left (\frac{1}{k}x-\frac{1}{k^2} \right )\cdot e^{kx}+C$

$\int x^2\cdot e^{kx}dx=\left (\frac{1}{k}x^2-\frac{2}{k^2}x+\frac{2}{k^3} \right )\cdot e^{kx}+C$

$\int x^3\cdot e^{kx}dx=\left (\frac{1}{k}x^3-\frac{3}{k^2}x^2+\frac{6}{k^3} x-\frac{6}{k^4}\right )\cdot e^{kx}+C$

Svar #4
13. oktober 2014 af strangers

Hej igen

Jeg er helt med på min fejl, men jeg undrer mig lidt over, hvorfor jeg skal differentiere 6x. Denne er jo 3x^2 differentialkvotient. Hvorfor skal jeg differentiere to gange?

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. oktober 2014 af mathon

med k = 1 gælder

$\int x\cdot e^{x}dx=\left (x-1 \right )\cdot e^{x}+C$

$\int x^2\cdot e^{x}dx=\left (x^2-2x+2 \right )\cdot e^{x}+C$

$\int x^3\cdot e^{x}dx=\left (x^3-3x^2+6 x-6\right )\cdot e^{x}+C$

Svar #6
13. oktober 2014 af strangers

Hej mathon

Det er på ingen måde for at være besværelig, men jeg forstår ikke helt det du skriver :S

Jeg har fået det rigtige svar, efter jeg "bare gjorde" som peterlind sagde. Men jeg forstår ikke hvorfor jeg skulle gøre det. Jeg vil mene - ifølge formlen - at jeg bare siger at jeg skal differentiere 3x^2 fremfor 6x

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. oktober 2014 af mathon

Foretag partiel integration tre gange og benyt det/de foregåendende resultat(er) anden og tredje gang, så forstår du formlen.

Svar #8
13. oktober 2014 af strangers

Done that! OG jeg står endnu engang med det rigtige resultat. Men jeg må bare erkende , at jeg stadig ikke forstår det :S årh føler mig helt dum..

Hvorfra kommer dine formler fra?

Den eneste formel jeg kender er bare denne f(x)G(x) - ∫f'(x)g(x)

Kan man ikke bruge denne`?

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. oktober 2014 af mathon

Ja
$\int f(x)\cdot g(x)dx=f(x)\cdot G(x)-\int f{\, }'(x)\cdot G(x)dx$

Svar #10
13. oktober 2014 af strangers

Men det passer bare ikke jf. #0. Har fået det rigtige svar - har batre fulgt jeres instrukser. Jeg vil bare rigtigt gerne forstå det også.

Der hvor det går galt er hvor jeg skal lave partiel integration af ∫3x^2*e^x.dx igen

Dette får jeg til

3x²*e^x - ∫6x*e^x. Det er her den glipper totalt for mig sådan forståelsesmæssigt

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. oktober 2014 af mathon

du integrerer hele tiden e^x og differentierer potensen ned til lavere potenseksponent:

$\int_0 x\cdot e^xdx=x\cdot e^x-\int e^xdx=x\cdot e^x-e^x=\mathbf {\color{Red} \left (x-1 \right )\cdot e^x}$

$\int_0 x^2\cdot e^xdx=x^2\cdot e^x-2\cdot \int x\cdot e^xdx=x^2\cdot e^x-2\cdot\mathbf {\color{Red} \left ( x-1 \right )\cdot e^x}=$

$x^2\cdot e^x-2\cdot \left ( x-1 \right )\cdot e^x=\mathbf{\color{Red} \left (x^2-2x+2 \right )\cdot e^x}$

$\int x^3\cdot e^xdx=x^3\cdot e^x-\mathbf{\color{Blue} 3}\cdot \int x^2\cdot e^xdx=x^3\cdot e^x-3\cdot\mathbf{\color{Red} \left ( x^2-2x+2 \right )\cdot e^x}+C=$

$\left( x^3-3x^2+6x-6 \right )\cdot e^x+C$

Brugbart svar (0)

Svar #12
13. oktober 2014 af mathon

#10

$\int 3x^2\cdot e^xdx = 3 \cdot \mathbf{ \color{Red} \int x^2\cdot e^xdx}$ som du lige har beregnet forudgående og derfor kan genbruge.

Skriv et svar til: Partiel integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.