Diff ligning

02. november 2014 af Xibit (Slettet) - Niveau: A-niveau

Givet diff ligningen

y'(t)+9t^3 y(t)=-10t^3

Beregn den fuldstændige løsning

Jeg er fuldstændig på bar bund, nogen der kan lede mig i den rigtige retning

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Benyt panserformlen. Den lineære differentialligning

y'(t) + p(t)·y(t) = q(t)

har den fuldstændige løsning

y(t) = e^-P(t) · (∫ e^P(t)·q(t) dt + C)

hvor P(t) = ∫ p(t) dt .

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. november 2014 af mathon

specifikt:
$y{\, }'+\left ( 9t^3 \right )\cdot y=-10t^{3}$ multiplicer med $e^{\frac{9}{4}t^4}$

$y{\, }'\cdot e^{\frac{9}{4}t^4}+\left ( 9t^3 \right )\cdot y\cdot e^{\frac{9}{4}t^4}=-10t^{3}\cdot e^{\frac{9}{4}t^4}$ venstre side omskrives

$\left (e^{\frac{9}{4}t^4} \cdot y \right){}'=-e^{\frac{9}{4}t^4}\cdot 10t^3$ begge sider integreres

$e^{\frac{9}{4}t^4} \right\cdot y =-\int e^{\frac{9}{4}t^4}\cdot 10t^3dt$

hvor
$\int e^{\frac{9}{4}t^4}\cdot 10t^3dt$ integreres ved substitution

$u=\frac{9}{4}t^4$ og dermed $\frac{10}{9}du=10t^3dt$

$\int e^{\frac{9}{4}t^4}\cdot 10t^3dt=\frac{10}{9}\cdot \int e^{u}\cdot du=\frac{10}{9}e^u+C=\frac{10}{9}\cdot e^{\frac{9}{4}\cdot t^4}-C$
hvoraf

$e^{\frac{9}{4}t^4} \right\cdot y =-\int e^{\frac{9}{4}t^4}\cdot 10t^3dt=C-\frac{10}{9}\cdot e^{\frac{9}{4}t^4}$

${\color{Red} \bf y=Ce^{-\frac{9}{4}t^4}-\frac{10}{9}}$

Skriv et svar til: Diff ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.