Minimum for f givet g = -1

Bemærk, at

        f(x,y) = g(x,y) -6y .

Hvis g(x,y) = -1 , er  f(x,y) = -1 -6y .

Ligningen g(x,y) = -1   bestemmer en cirkel med centrum i (1 , 2) og med radius 2. På mængden bestemt ved ligningen g(x,y) = -1 , vil y derfor variere i intervallet [0;4] . Bestem nu minimum for funktionen -6y -1 på intervallet 0 ≤ y ≤ 4 .

Er der en anden måde at løse den på? Du ved at mængden er en cirkel, men kan man løse opgave uden at gøre brug af dette?

#2

Ja, man kan indføre en Lagangevariabel til at håndtere bibetingelsen g(x,y) = -1 .

Men det er da let nok at se, at løsningsmængden for g(x,y) = -1 er en cirkel.

Ja, helt sikkert, men vi arbejder med Lagrange lige nu, hvorfor jeg helst vil løse den på den måde, men jeg kan ikke få den til at gå op.

Jeg får jo ligningsystemet

Hvordan går man så frem?

#4

Man opstiller først Lagrangefunktionen med bibetingelsen bygget ind:

        Λ(x,y,λ) = f(x,y) + λ·(g(x,y) + 1)

og vi søger nu et stationært punkt for denne funktion

        ∂Λ/∂x = 2x - 2 + λ·(2x - 2) = 0

        ∂Λ/∂y = 2y - 10 + λ·(2y - 4) = 0

        ∂Λ/∂λ = x² + y² -2x -4y +1 = 0

Alle tre ligninger skal være opfyldt. Af den første ligning får man x = 1 ∨ 1+λ = 0 . Indsætter man x = 1 i den sidste ligning, får man   y·(y - 4) = 0 .

Tak, det gav mening.