Matematik

Konvergent eller ej?

09. november 2014 af ab19888 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har en funktion f:

$f(t)=\frac{\pi}{8}(\pi t-t^{2}), 0\leq t\leq \pi$

Og f har fourierrækken:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin((2n-1)t)}{(2n-1)^{3}}$

Er fourierrækken så konvergent med sum f(t) for alle t ∈ R? Er det korrekt, at det er den?

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. november 2014 af peter lind

Det er korrekt

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er kun korrekt, hvis det tilføjes, at f(t) udvides til R som en periodisk funktion med perioden π . Fourierrækken er konvergent med den periodiske udvidelse af f(t) som sumfunktion.

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Indsætter man t = π/2 , får man rækken fra den anden tråd https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1539149

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n-1)\frac{\pi }{2}}{(2n-1)^{3}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-\cos n\pi }{(2n-1)^{3}}=\sum_{n-1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^{3}}=\frac{\pi }{8}(\frac{\pi ^{2}}{2}-\frac{\pi ^{2}}{4})=\frac{\pi ^{3}}{32}$

Svar #4
10. november 2014 af ab19888 (Slettet)

#2 - Skal man tilføje det.

Og hvordan ved du, at det lige var t=pi/2. Et gæt så det passer til lighedstegnet?

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, for din formulering i #0 er ikke korrekt.

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det kan man da se umiddelbart, at f(π/2) = π³/32 .

Skriv et svar til: Konvergent eller ej?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.