Matematik

Vektorer: Bestem siderne og vinklerne i trekant ABC

12. november 2014 af carlcrede (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har fået stillet opgaven som lyder således:

I et koordinatsystem er der givet tre punkter A(0,2), B(1,3) og C(4,4).
Bestem koordinatsæt til vektor AB, vektor BC og vektor AC
Lav en passende tegning af situationen på ternet papir.
Bestem ved hjælp af disse tre vektorer længden af siderne i trekant ABC og vinklerne A, B og C

Hvad jeg er kommet frem til:
Koordinatsæt:
  \vec{AB}=\binom{1}{1} \vec{BC}=\binom{3}{1} \vec{AC}=\binom{4}{2}

Prikprodukter:
\vec{AB}\bullet \vec{BC}=4     \vec{BC}\bullet \vec{AC}=14    \vec{AC}\bullet \vec{AB}=6

Længder:
\left | \vec{AB} \right |=\sqrt{2}\left | \vec{AB} \right |=\sqrt{2} \left | \vec{BC} \right |=\sqrt{10} \left | \vec{AC} \right |=\sqrt{20}

Nu skal der jo beregnes vinkler vha. cosinus. 
Jeg kommer frem til følgende:
\angle A=cos^{-1}\left (\frac{\vec{AB}\bullet \vec{AC}}{\left | \vec{AB} \right|\cdot \left | \vec{AC} \right | \right ) }=\frac{6}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{20}}=0.32
\angle B=cos^{-1}\left (\frac{\vec{AB}\bullet \vec{BC}}{\left | \vec{AB} \right|\cdot \left | \vec{BC} \right | \right ) }=\frac{4}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}}=0.46
\angle C=cos^{-1}\left (\frac{\vec{AC}\bullet \vec{BC}}{\left | \vec{AC} \right|\cdot \left | \vec{BC} \right | \right ) }=\frac{14}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{10}}=0.14

For det første er jeg i tvivl om jeg får regnet mig frem til de rigtige tal, da min CAS regner også giver et andet resultat, når jeg vælger grader under attributter.
Jeg ved at jeg skal bruge disse formler, men jeg kan bare ikke få det til at hænge sammen.. jeg skal jo helst komme frem til 180º da det er en trekant.
Kan nogen spotte hvad jeg gør forkert og hjælpe?


Brugbart svar (1)

Svar #1
12. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Du har kun regnet cosinus til de tre vinkler. Beregn så vinklerne selv ved at benytte cos-1() og lad være med at runde af i mellemregningerne.

        A = cos-1(6/(√2 · √20)) = 18,43º

Bemærk, at

       cos(B) = BABC/(|BA||BC|) = -4/(√2 · √10)

dvs. dit fortegn for cos(B) er forkert her.


Brugbart svar (1)

Svar #2
12. november 2014 af mathon

           \angle B=\cos^{-1}\left (\frac{\overrightarrow{AB}\bullet \overrightarrow{BC}}{\left | \overrightarrow{AB} \right|\cdot \left | \overrightarrow{BC} \right | \right ) }=\cos^{-1}\left (\frac{-4}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}} \right )=153,44^{\circ}


Svar #3
17. november 2014 af carlcrede (Slettet)

Tak for hjælpen :)


Brugbart svar (0)

Svar #4
23. august 2021 af rycdi

#2

           \angle B=\cos^{-1}\left (\frac{\overrightarrow{AB}\bullet \overrightarrow{BC}}{\left | \overrightarrow{AB} \right|\cdot \left | \overrightarrow{BC} \right | \right ) }=\cos^{-1}\left (\frac{-4}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}} \right )=153,44^{\circ}

Hej mathon, kalder man denne metode eller beregning for cosinusrelation?


Brugbart svar (0)

Svar #5
23. august 2021 af mathon

#4
        Nej - ikke cosinusrelationen.

        Produktet af to vilkårlige enhedsvektorer er lig med cosinus til vinklen mellem dem.


Brugbart svar (0)

Svar #6
23. august 2021 af rycdi

Når på den måde. Jeg prøvede at finde en formel til hvordan man kunne beregne vinklerne, når man kun får 3 koordinater. Jeg kunne kun finde det her, og jeg ved ikke hvad det her hedder.
Tak

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. august 2021 af mathon

#4
        Nej - ikke cosinusrelationen.

       Skalarproduktet af to vilkårlige enhedsvektorer er lig med cosinus til vinklen mellem dem.


Skriv et svar til: Vektorer: Bestem siderne og vinklerne i trekant ABC

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.