integration

De variable separeres:

integrer på begge sider                        

Man kan også sætte    u(x) = 1/y(x) . Så får man en meget simpel differentialligning i u(x)

        du/dx = -(2x + 1)

Dette er jo en konsekvens af, at ligningen er separerbar, som vist i #1.

#1 Jeg kan ikke se hvordan jeg skal komme videre derfra?

#2 Jeg plejer også at udtrykke noget som u, men jeg ved ikke om det er y eller (2x+1) der skal udtrykkes som u.

Jeg forstår dog ikke hvordan u(x) = 1/y(x) kommer ind i billedet. Det er en smule for svært.

Skulle jeg udtrykke u som følger:

u = (2x+1)

ville jeg mene at:

du/dx = 2

Derfor forstår jeg ikke hvordan du bestemte du/dx til -(2x+1) ?

#3

Nej, du skal sætte u(x) = 1/y(x) . Så er y(x) = 1/u(x) , og dermed dy/dx = -(1/u²)·du/dx . Sætter man det ind i differentialligningen får man

        -(1/u²)·du/dx = (2x+1)/u²

og dermed

         du/dx = -2x -1

som jo let integreres til

        u(x) = -x² -x + c .

Så substitueres tilbage til funktionen y(x), dvs

        y(x) = 1/u(x) = 1/(c - x² -x)

#4 Men hvordan kommer 1/y ind i billedet ? Er det et kvalificeret gæt eller hvordan går det til?

#5

Ja, det er et gæt inspireret af den separerbare ligning i #1.

Ved separation af de variable får man som vist i #1

        (1/y²) dy = (2x+1) dx

der så integreres

        ∫ (1/y²) dy = ∫ (2x+1) dx

#1 og #6 Skal det integreres således?

Eller hver for sig?

og

og dernæst sætte det lig med hinanden:

Er dette korrekt?

#7

Jeg forstår ikke, hvad du laver her. Man skal integrere

        ∫ (1/y²) dy = ∫ (2x+1) dx

så man får

        -1/y = x² + x + c

og så isolerer man y(x) .

I hvert integral er det klart angivet, hvad der integreres efter.

#8 Ja jeg skrev lige noget forvirrende, jeg har rettet i #7 nu. Er det korrekt nu?

#9

Nej det er ikke korrekt. På venstre side får man jo -1/y og på højre side x² + x + c , som vist i #8.

#10 Det er rettet nu. Du var lige en anelse for hurtig :)

#11

Hvad mener du med f(x) ?? Det er noget vrøvl, hvad du har skrevet. f(x) er lig med y(x) .

#12 Du må gerne specificere, idet jeg ikke kan se hvori problemet ligger. f(x) er jo løsningen til differentialligningen, stod der?

Nej vent, jeg forstår det. Giv mig et øjeblik.

#13

Ja, så f(x) er jo løsningen y(x) til differentialligningen. Man finder

        -1/y(x) = x² + x + c .

Find nu y(x) , der også er lig med f(x) .

Er det korrekt denne gang?

red: Tak. Idet vi faktisk kender et punkt i opgaven som hedder (0,-1), og vi skal bestemme ligningen for tangenten til grafen for f(x) i det punkt - er det derfor ikke smart først at bestemme k-værdien vha punktet?

#16

Nej, det er ikke korrekt. Den korrekte løsning stå nederst i #4.

#17 Jamen jeg kan slet ikke se hvordan konstanten kommer derned i nævneren, medmindre den var hæftet på løsningen af integralet:  ?

#18

Den kommer jo ind ved integrationen af højresiden i

        ∫ (1/y²) dy = ∫ (2x+1) dx

Da   ∫ (1/y²) dy = -1/y     og    ∫ (2x+1) dx = x² + x + c

har man

        -1/y = x² + x + c

hvor man så isolerer y (som også er f(x))

        y = -1/(x² + x + c) = 1/(k - x² - x)

#19 Ja nemlig - men hvorfor lige højre siden? Er det bare en regel man skal kunne?