Matematik
Det Gyldne Snit, Fibonaccital og Rekursionformel opgave- til SRP
Jeg har i forbindelse med min SRP og Det Gyldne Snit og Fibonaccital fået udleveret et bilag med en opgave, der lyder således;
"Lad en følge være givet ved rekursionsformlen an+1=1+1/an , hvor a1 =1.
a) Angiv de 7 første tal i følgen.
b) Vis, at for n>1 er an = (Fn+1 ) / Fn.
c) Konkludér at an-> Φ (Phi) for n-> ∞
Jeg har lavet et bevis, der tilnærmelsesvis ligner opgave c. Det vides også, at forholdet mellem Fn+1 og Fn nærmer sig Phi (Det Gyldne Snit), jo større n er.
Mit problem er, at jeg ikke helt kan gennemskue, hvordan opgavens talrække (og hermed også de efterfølgende opgaver) vil komme til at minde om Phi (tallet 1,618034....).
Er der en venlig sjæl, der kan hjælpe? På forhånd tak!
Svar #1
04. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)
For Fibonaccitallene har man
Fn+2 = Fn+1 + Fn
med F1 = F2 = 1 .
b) vises ved induktion efter n . Man har først af definitionen for an+1 :
a2 = 1 + 1/a1 = 1 + 1/1 = 1 + 1 = 2
og dernæst
F3 / F2 = (F2 + F1) / F2 = (1 + 1) / 1 = 2
så an = Fn+1 / Fn er opfyldt for n = 2 .
Antag nu, at an = Fn+1 / Fn for et n . Da har vi
an+1 = 1 + 1/an = 1 + Fn/Fn+1 = (Fn+1 + Fn) / Fn+1 = Fn+2 / Fn+1
så udtrykket gælder også for n+1.
c) Da Fn+1/Fn → φ for n → ∞ , følger det, at an → φ for n → ∞ .
Skriv et svar til: Det Gyldne Snit, Fibonaccital og Rekursionformel opgave- til SRP
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.