Funktional ligning

med
                           
haves
                           

Tak, men jeg kan ikke helt se hvordan jeg kan bruge det?

I #1 vises den trivielle del, nemlig, at g(x) = cx² er en løsning til funktionalligningen.

Af selve funktionalligningen

følger det, at   g(0) + g(0) = g(0) , dvs. g(0) = 0 . Endvidere har man

         g(-x) + g(0) = g(-x) = g(√(x²)) = g(|x|) = g(x) ,

så g(x) er en lige funktion. Endvidere har man

        g(x) + g(x) = 2g(x) = g(x√2)

        g(x) + 2g(x) = 3g(x) = g(x) + g(x√2) = g(√(x² + 2x²) = g(x√3)

Ved induktion efter det naturlige tal n har vi

        n·g(x) = g(x) + (n-1)·g(x) = g(x) + g(x·√(n-1)) = g(√(x² + (n-1)x²)) = g(x·√n)

Heraf ser vi, at

        g(√n) = n·g(1)

og

        n·g(√n) = g(√n · √n) = g(n)

dvs.

        g(n) = n²·g(1) , for alle naturlige tal n .

Endvidere har vi

        g(x·√n) = n·g(x)   for alle x og for alle naturlige tal n, dvs.

        g(x√n · √n) = n·g(x·√n) = n·n·g(x) = n²·g(x),

altså

        g(n·x) = n²·g(x) , for alle reelle x og for alle naturlige tal n.

Sætter vi her x = 1/n , har vi    g(1/n) = (1/n)²·g(1) , og lader vi nu p og q være naturlige tal, har vi

        g(p/q) = g(p·(1/q)) = p²·g(1/q) = (p/q)²·g(1) .

For ethvert rationalt tal r ∈ Q har vi derfor etableret, at der gælder

        g(r) = r²·g(1) .

Hvis g skal være en kontinuert funktion, må der derfor for ethvert reelt x ∈ R gælde

        g(x) = x²·g(1) .