Matematik

Vektor opgave

10. januar 2015 af Jens6554545 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Nogen der vil hjælpe med at løse opgaven jeg har vedhæftet.

Vedhæftet fil: Udklip.JPG

Brugbart svar (1)

Svar #1
10. januar 2015 af mathon

tangenternes røringspunkter P bestemmes
af:
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}$

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}\pm r\cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}$ $\left | \overrightarrow{n} \right |=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$

$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix}\pm \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{10}}\cdot \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix}\pm 2\cdot \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}=\left\{\begin{matrix} \begin{pmatrix} 8\\6 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -4\\2 \end{pmatrix} \end{matrix}\right.$

En punkt har samme koordinater som dets stedvektor:

P_1=(8,6) P_2=(-4,2)

Tangenterne t₁ og t₂har samme normalvektor $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}$ som linjen, de er parallelle med

tangentligning i (x_o,y_o)

a(x-x_o)+b(y-y_o)=0

$t_1\! \! :\: \: 3\cdot (x-8)+1\cdot (y-6)=0\Leftrightarrow 3x+y-30=0$

$t_2\! \! :\: \: 3\cdot (x-(-4))+1\cdot (y-2)=0\Leftrightarrow 3x+y+10=0$

Svar #2
10. januar 2015 af Jens6554545 (Slettet)

Hej Mathon

Jeg forstår ikke helt hvorfor man skal bestemme tangenternes røringspunkter?

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. januar 2015 af mathon

For at bestemme ligningen for en ret linje, må man have to oplysninger
i det her tilfælde normalvektor og fixpunkt.

Svar #4
10. januar 2015 af Jens6554545 (Slettet)

Ok tak

En anden ting: Hvor kommer kvadratroden af 40 fra i parameterfremstillingen

tak på forhånd

Brugbart svar (1)

Svar #5
10. januar 2015 af mathon

$r^2=40\; \; \; \; \; r>0$

$r=\sqrt{40}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. januar 2015 af rasmusjensen123 (Slettet)

Hej Mathon

Gider du at forklare mig helt præcist hvad du gør til at starte med. Jeg kan se at du først gøre noget med nogen vektorer et ved jeg ikke helt hvorfor du gør. Så kan jeg se, at du beregner længden af normal vektoren, og så opstiller du parameterfremstillingen, men hvor for du fra at t i parameterfremstillingen skal være radius over længden af normalvektor?

Tak på forhånd:-)

Brugbart svar (1)

Svar #7
11. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Cirklens ligning er

(x-2)² + (y-4)² = 40

Cirklen har centrum i punktet C(2;4) og dens radius er r = √40 . De søgte tangenter skal være parallelle med linien m med ligningen

3x + y - 2 = 0

En normalvektor for linien m er vektoren n = [3 ; 1] . Denne vektor er derfor parallel med en vektor fra cirklens centrum C til et af røringspunkterne P. Røringspunkterne P er derfor bestemt ved

OP = OC ± r·n/|n| = [2;4] ± (√40)·[3;1]/√10 = [2;4] ± 2·[3;1] = [2;4] ± [6;2]

De to røringspunkter er derfor bestemt ved

OP₁ = [8;6] og OP₂ = [-4;2]

De to tangenter har samme normalvektor n som linien m.

Skriv et svar til: Vektor opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.