Matematik

ligning for tangenter til cirkel ?

14. januar 2015 af 321bj (Slettet) - Niveau: B-niveau

En cirkel har ligningen (x-4)2 + (y-1)2 = 22

A. Bestem ligningen for de tangenter til cirklen, der går gennem punkt (0,0)

B. Bestem vinklen mellem de 2 tangenter.

Hvordan løser jeg disse 2 opgaver med beregning ?

Jeg håber I kan hjælpe mig

Svar #1
14. januar 2015 af 321bj (Slettet)

ups fejl i skrivningen

cirklens ligning er (x-4)² + (y-1)² = 4 (altså 2²)

Brugbart svar (1)

Svar #2
14. januar 2015 af peter lind

En linje gennem (0, 0 ) har ligningen y=a*x. Sæt det ind i cirklens ligning. Det giver en andengradsligning i x. Bestem nu a så der kun er en løsning til den andengradsligning.

Svar #3
14. januar 2015 af 321bj (Slettet)

ok men skal jeg ikke finde 2 tangenter ? og jeg forstår ikke hvordan jeg skal sætte det ind i cirklens ligning. Skal jeg sætte y-værdien til 1 ?

Det eneste jeg ved, det er (a,b) er dens centrum og det er = (4,1)

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. januar 2015 af mathon

(x-4)^2+(ax-1)^2-4=0

(a^2+1)x^2-(2a+8)x+13=0 med kun én løsning

dvs
$\left (-(2a+8) \right )^2-4\cdot (a^2+1)\cdot 13=0$

12a ^2-8a-3=0

Svar #5
14. januar 2015 af 321bj (Slettet)

ok men forstår ikke omskrivningen i led 2 (linje 2), hvordan skal jeg forstå den ?

Brugbart svar (1)

Svar #6
14. januar 2015 af mathon

(x-4)^2+(ax-1)^2-4=0

x^2-8x+16+a^2x^2-2ax+1-4=0

(a^2+1)x^2-(2a+8)x+13=0

Svar #7
14. januar 2015 af 321bj (Slettet)

ok bliver den så:

ax4 + x²-2ax+8+13 = 0 ?

(har prøvet at ophæve paranteserne)

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. januar 2015 af mathon

12a ^2-8a-3=0

$a=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 12\cdot (-3)}}{2\cdot 12}$

$a=\frac{8\pm \sqrt{208}}{24}$

$a=\frac{2\pm \sqrt{13}}{6}$

tangenter:
$y=\left ( \frac{2-\sqrt{13}}{6} \right )x$

$y=\left ( \frac{2+\sqrt{13}}{6} \right )x$

Brugbart svar (0)

Svar #9
14. januar 2015 af Soeffi

Se evt. http://www.frividen.dk/matematik/vektorer-i-planen/ video 32.

Her bruges afstandsformlen, hvor dist(linje, centrum) = radius.

Svar #10
16. januar 2015 af 321bj (Slettet)

jeg er med til x²- 8x + 16 +a²x² - 2ax + 1 - 4 = 0 og x² - 8x + a²x² - 2ax + 13 = 0

men hvordan omskrives dette udtryk til (a² + 1)x² - (2a + 8)x + 13 = 0? og hvordan omskrives det videre til formen for en andengradsligning ax² + bx + c = 0, så jeg får en a-, b- og c-værdi som du er kommet frem til i #8 12a² - 8a + 13 = 0 så jeg kan beregne diskriminanten og dernæst ligningens løsninger ?

Brugbart svar (1)

Svar #11
16. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Saml led med x2, led med x, og led uden x for sig:

x² - 8x + a²x² - 2ax + 13 = 0 , dvs.

x² + a²x² - 8x - 2ax + 13 = 0 , eller

(1 + a²)x² - (8 + 2a)x + 13 = 0

A x² + B x + C = 0 ,

d = B² - 4·A·C = (-(8+2a))² - 4·(1+a²)·13 = 64 + 32a + 4a² -52 - 52a²

= -48a² +32a +12 = -4·(12a² -8a -3)

Brugbart svar (1)

Svar #12
16. januar 2015 af peter lind

Se på alle led med x². Sæt x² ud foran en parentes i dette led. Gentag med henholdsvis x og konstanterne

Svar #13
17. januar 2015 af 321bj (Slettet)

#11

ok nu er jeg næsten helt med men jeg har selv fået d = 64 + 16a + 16a + 4a2 - 52 - 52a²

hvis jeg samler det får jeg det til -48a²+ 32a + 8

og med -4 sat udenfor parentes = -4*(12a²-8a -2)

hvad har jeg gjort forkert ?

Brugbart svar (1)

Svar #14
17. januar 2015 af Soeffi

#13
#11

ok nu er jeg næsten helt med men jeg har selv fået d = 64 + 16a + 16a + 4a2 - 52 - 52a²

hvis jeg samler det får jeg det til -48a²+ 32a + 8

og med -4 sat udenfor parentes = -4*(12a²-8a -2)

hvad har jeg gjort forkert ?

64-52=12

Brugbart svar (1)

Svar #15
17. januar 2015 af peter lind

64-8 er ikke lig med med 8

Svar #16
17. januar 2015 af 321bj (Slettet)

tusind tak for hjælpen :)

hvordan finder jeg vinklens mellem de 2 tangenter til cirklen ?

Brugbart svar (1)

Svar #17
17. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

#16

Benyt liniernes hældningskoefficienter til at bestemme den vinkel, som hver af linierne danner med x-aksen. Den søgte vinkel mellem de to tangenter er så forskellen mellem de to vinkler.

Svar #18
17. januar 2015 af 321bj (Slettet)

tusind tak fir hjælpen :)

Brugbart svar (0)

Svar #19
18. juli 2015 af Soeffi

CAS konstruktion. Der er brugt en midtnormal-konstruktion til at finde røringspunkterne.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-07-18 at 6.26.42 PM.png

Brugbart svar (0)

Svar #20
18. juli 2015 af mathon

Beregning af den spidse vinkel mellem tangenterne
med hældningskoefficienterne

$\alpha _1=\frac{2-\sqrt{13}}{6}$ og $\alpha _2=\frac{2+\sqrt{13}}{6}$

$\tan(v_{spids})=\frac{\left | \alpha _1-\alpha _2 \right |}{\left | 1+\alpha _1\cdot \alpha _2 \right |}=\frac{\left | \frac{-\sqrt{13}}{3} \right |}{\left | 1+\frac{4-13}{36} \right |}=\frac{\frac{\sqrt{13}}{3}}{\frac{3}{4}}=\frac{4\sqrt{13}}{9}$

$v_{spids}=\tan^{-1}\left (\frac{4\sqrt{13}}{9} \right )=58{,}0346^{\circ}\approx 58{,}03^{\circ}$

Forrige 1 2 Næste

Der er 23 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.