To ligninger med tre ubekendte

Forslag

opret u=1/(1+B) som ny variabel. Det får det til at se pænere ud.

I den første ligning: træk y/2 over på venstre side og kvadrer. Så slipper du af med kvadratrodstegnet

I den anden ligning: Gang med nævneren og gang parenteserne ud.  Så vidt jeg umiddelbart kan se giver det nogle ret overskuelige ligninger.

x kan elimineres ved at indsætte (I) i stedet for x i (II)
eller B kan isoleres i (I)
     for 2x - y ≥ 0

Med U = 1/(1+B) får jeg

og

Hvis du så kvadrerer den først får du et 2. grads polynomium  x og y. Isoleringen af x og y svarer så til at skulle finde skæringen mellem 2 cirkler.

(II) kan så løses som en 2.gr.lign. m.h.t. U

Da skulle B være let at konvertere til.
 

#4

Det har jeg gjort, og jeg har nu ligningen

så jeg kan nu isolere U, men hvis jeg skal isolere x eller y skal jeg skille dem ad. Hvordan skiller jeg yx-leddet ad?

Det kan du fjerne ved brug af den anden ligning. Der indgår x*y også. Prøv at se om dit CAS værktøj ikke kan løse ligningssystemet nu

#5

Hvis jeg indsætter B som funktion af x og y i

Får jeg en funktion f(x, y). Jeg kan så indsætte mit udtryk for x, så jeg får en funktion af y ... men mit udtryk for x indeholder også B, og så bliver det en cirkulær reference. Hvordan fixer man det?

Jeg har nu de to ligninger

men mit CAS kan stadig ikke udtrykke x ved U og y ved U.

Når jeg sætter dem lig hinanden får jeg ligningen

men hvis jeg isolerer en variabel i denne ligning bliver den udtryk ved 2 variable.

# 9
Efterprøv, om den sidstnævnte ligning skulle fremstille en ellipse med

og

og

og hvor U er løsning til ligningen
- 20U² + 20U = 400U²/21 + 100U²/39 - 819
 

Hvad er realistiske værdier for parameteren B ?

Med u = 1/(1+B) har man af den første ligning i #0

        (2x - y)² = (4u - 3y)·y

der reduceres til

(I)         x² + y² = xy + uy

Ganges med nævneren i den anden ligning fås

(II)        x² - y² = 20·(u - x)·(1 - u - x - y) ,

hvor der må kræves  x ≠ u , x+y ≠ 1-u , og x ≠ y .

Af (I) finder man  u = y - x + x²/y , der kan indsættes i (II), hvorved man får en ligning der ikke indeholder u:

        y²·(y² - x²) = 20·(x-y)²·(x² + 2y² - y)

der så, da x ≠ y, kan reduceres til

        y²·(x + y) = 20·(y-x)·(x² + 2y² - y)

Sætter man z = x/y finder man, at z er rod i ligningen

        20z³ - 20z² + (41 - (20/y))z - 39 + (20/y) = 0 .

Lader man y variere som parameter finder man de mulige værdier for z = x/y  blandt de reelle rødder til denne 3.-gradsligning, hvoraf så x = y·z kan findes, og dermed u af u = y - x + x²/y . Derved kan man opbygge en tabel med sammenhørende værdier af  y, x og u .

Ved at benytte fremgangsmåden i #11 er følgende plot af grafen for funktionen f(B) fremkommet:

Det fremgår heraf, at f(B) har et maksimum på ca 0,33 omkring B = 0,96 .

Det er måske ikke så underligt, at lommeregneren havde problemer med at finde ekstremum for sådan en funktion med sløjfe.

Flot graf #12.

På B niveau tror jeg, at jeg ville kontrollere, om, jeg havde skrevet opgaven forkert op, eller om der var gået noget andet galt undervejs; for opgaver plejer at være konstrueret til at blive simplere end dette.
 

#13

Jeg tror ikke, at man skal lægge for meget i, at spørgsmålet er klassificeret som B-niveau. Der er ikke tale om en konstrueret matematikopgave. Jeg tror snarere at spørgsmålet er affødt af en problemstilling, som Heptan er stødt på i sine kemiske studier. Lommeregneren gav op, og det kan da være interessant at vide, om der er en løsning til problemet og eventuelt også hvorfor lommeregneren gav op.

#14

Korrekt. Men Chrystine, du er da velkommen til at tjekke om der er gået noget andet galt undervejs; faktisk håber jeg på at finde noget symmetri i opgaven, som gør det mere overskueligt at løse den, men den her metode burde virke. Der var desværre ikke en kemisk matematik-kategori, så jeg valgte bare det vilkårlige B-niveau.

Opgaven er faktisk simpel at forstå, men den er meget regnetung. Jeg vil prøve at formulere den matematisk:
______________________________________________________

Betragt de to ligevægte

1)   A + E → B + D

2)   B + E → C + D

med de dertilhørende ligevægtsudtryk:

a)      

b)       

hvor a, b, c,d og e er variable molbrøker tilhørende stofferne A, B, C, D og E (stof B er ikke at forveksle med den angivne variabel).

A og E blandes i forholdet 1 : B (hvor B er den angivne variabel). Bestem B, så udbyttet af stof B bliver størst muligt ved ligevægt. Der gælder at B > 1.
______________________________________________________

Jeg kalder den initiale molbrøk for A hhv. E for a_i og e_i. Der gælder at

c)       1 = a_i + e_i

d)       1 = a + b + c + d + e

Når A og E blandes, vil der indstille sig de to ligevægte 1) og 2). De aktuelle molbrøker i ligevægt udtrykker jeg således:

e)       a = a_i - x

f)        b = x - y

g)       c = y

h)       d = x + y

i)        e = e_i - x - y

hvor x hhv. y er ukendte variable, identiske med de x og y angivet i #0.

Udbyttet af stof B udtrykker jeg således:

    (Dette er funktionen angivet i #0)

Da det vides, jf. molforholdet, at

j)       

fås af c) og j) funktionen

k)       

Sætter man a) og b) lig hinanden kan x udtrykkes ved y og a_i:

l)       

Dette er den første ligning i #0, og traditionelt valgte jeg løsningen til højre, men det kan jo være den til venstre også, det kan jeg ikke lige gennemskue. Desuden sammenhængen

m)       

Man kan så blive ved med at konstruere forskellige ligninger, fx den anden ligning angivet i #0, som kommer af ligevægtsudtrykket a):

n)       

Tilsvarende for b) fås:

o)       

Desuden gælder der

p)       a_i = a + b + c

#15

Mange tak for oversigten. Er konstanten 20 i a) og b) en fastlagt konstant, eller kunne det i andre reaktioner være en anden konsatnt? De to reaktioner kunne måske også have forskellige ligevægtskonstanter?

#16

For at bruge Chrystines ord, så er det en konstrueret konstant lavet for at gøre opgaven simplere. Og de kan netop være forskellige, de næste og sidste delopgaver lyder:

2. Find det maksimale udbytte.

3. Besvar opg 1 og 2 ved vilkårlige K₁ og K₂.

For at være specifik, så kan jeg fortælle at der er tale om reaktionen hvor oxalsyre omdannes til en monoester, og derefter videre til en diester, hvis nogen skulle være interesserede i at tjene penge på optimeringsmetoden til industrien ...

Svaret er B = 1,05 !! Jubii...

Jeg har tegnet grafen ligesom #12, men istedet for at gætte på værdier af y har jeg gættet på værdier af B og løst de to ligninger n) og o) med CAS. Jeg får i overensstemmelse f(B) = 0,333333, men i uoverenstemmelse med B (#12).

Af en eller anden grund kan jeg ikke bestemme et punkt B = 0,95 hvor f(B) > 0.

Dette giver en masse smukke resultater, heriblandt

B = 21/20

f(B) = 1/3

x = 2y = 40/123

a = b = c = y = x/2 = 20/123

a_i = d = 3y = 20/41

e_i = 21/41

Der er en masse symmetri, og jeg vil undersøge kemiske argumenter nærmere. Det matematiske gætteri er måske ikke det bedste argument, jeg har stadig ikke en forskrift for f(B), men jeg tror på løsningen. Jeg sætter stor pris på jeres hjælp.

#18

Der er sådan set ingen modstrid. Jeg aflæste maksimum for f(B) baseret på et for groft datasæt. Siden har jeg beregnet f(B) for et finere datasæt omkring B ≈ 1 . Jeg finder så, at f(B) har maksimum ved B = 1,05197 med maksimum f(B) = 0,3331797 . Disse er ikke identiske med dine pæne værdier, men de er trods alt ganske tæt på.

Fortsat held og lykke med analysen og god arbejdslyst.

Min antagelse er, at ligevægtskoncentrationen for oxalsyre vil følge den blå linje, mens monoester vil følge den orange og diester den røde. Første aksen er B. Ved optimum skulle ligevægtskoncentration for oxalsye så være lig ligevægtskoncentration for diester og ligevægtskoncentrationen for monoester vil toppe.