Find højden.

Du skal først og fremmest lave en tegning med et tværsnit midt gennem keglens akse og kuglen. Tegningen vil udgøre en del af en cirkel. Kugleafsnitte vil være større end halvdelen af kuglen, da keglens side ellers ikke kan være tangent til kuglen. Jeg kalder radius i kuglen for r, radius i cirklen ved sammenføjningen for r₁, og afstanden fra kuglens centrum til snitfladen for x.

Af den retvinklede trekant der dannes af snitfladens radius, stykket med længden x og kugkens radius, kan du ved brug af pytagoras finde en sammenhæng mellem x, r og r₁.

Se på den retvinklede trekant, der dannes af kuglens radius, keglens sideflade og aksen. Den er ensvinklet med trekanten ovenfor. ud fra det kan du så beregne afstanden fra kuglens centrum til spidsen af keglen udtrykt ved de omtalte parametre

Kald kuglens radius for r, kugleafsnittes højde for h, og kugleafsnittets kordelængde for k.

Hele kuglens rumfang er

        V_kugle = (4π/3)r³

mens kugleafsnittets rumfang er

        V_kalot = (π/6)·h·(3(k/2)² + h²)

Keglens frembringere skal være tangenter til kuglen, hvorfor keglens topvinkel vil være supplementvinkel til kugleafsnittets centervinkel θ . Vinklen mellem keglens grundflade og en af keglens frembringere vil da være θ/2, og hvis H er keglens højde, gælder der derfor

        tan(θ/2) = H / (k/2)

Endvidere gælder der

        tan(θ/2) = (k/2) / (r-h)

og endelig har vi fra geometrien for kugleafsnittet

        (r-h)² + (k/2)² = r²

eller

        (k/2)² = 2rh - h² .

Af det ovenstående ser vi, at

        H = (k/2)·tan(θ/2) = (k/2)² / (r-h) .

Keglens rumfang er nu

        V_kegle = (π/3)·H·(k/2)² = (π/3)·(k/2)⁴ / (r-h) .

Rumfanget af hele den sammenlimede figur er så

        V = V_kugle - V_kalot + V_kegle

            = (4π/3)r³ - (π/6)·h·(3(k/2)² + h²) + (π/3)·(k/2)⁴ / (r-h)

            = (4π/3)r³ - (π/6)·h·(6rh - 2h²) + (π/3)·(2rh - h²)² / (r-h)

Indsætter man r = 2 og V = (2π/3)·(5/2)³ får man en ligning i h, som så kan løses.

Som jeg tolker opgaven, vil den sammenlimede figur ligne noget i retning af et vaffelkræmmerhus med en stor iskugle i toppen. Rumfanget af den sammenlimede figur vil da altid være større end rumfanget af iskuglen i kræmmerhuset. Iskuglens rumfang er

        V_kugle = (4π/3)·2³ = (32/3)π = (128/12)π

Det krævede rumfang er en halvkugle med radius (5/2), dvs.

        V_krævet = (2π/3)·(5/2)³ = (125/12)π < V_kugle < V_figur ,

dvs den sammenlignede figur vil altid have større rumfang end det krævede rumfang. Sådan som jeg læser opgaven, vil der ikke være nogen løsning. Men måske har jeg opfattet opgaven forkert?

Hvis man antager, at det er kombinationen af kegle og kugleafsnit, man leder efter, når man frem til 

Vinklen v fås til 72º.

Graf til beregning af k.

#4

Aha, så du løser altså ligningen

        V_kalot + V_kegle = (2π/3)·(5/2)³

hvor keglen limes på den lille kalot. Din løsning giver da god mening. Jeg havde forestillet mig, at keglen skulle limes på den store del af kuglen, så der ville være en glat overgang.

#6

Punkt 4) i konstruktionen kunne tyde på det, men det giver åbenbart for stort et rumfang.

#6

Der burde selvfølgelig også have været en tegning med i opgaveformuleringen.

Der er faktisk en tegning, troede bare ikke den behøvede at være med. Min fejl :o

Det er altid en fordel at vedligge tegninger. Det giver  dels en bedre beskrivelse af opgaven og -nok så vigtig- svareren kan henvise til tegning, når der gives en forklaring

Det skal jeg huske til en anden gang :) Sorry

Jeg har bare på fornemmelsen, at der mangler en information til at kunne løse den. Eller er det bare mig?

#4 har fundet alle relevante tal for dig. Du skal så blot finde rumfanget af keglen og kuglekalotten. Det kan du gøre ved at bruge formlen til at finde rumfanget for omdrejningslegemer. Keglen findes der en færdig formel for og Andersen har ovenfor givet dig formlen for rumfanget af en kuglekalot i #2

Okay, tak for hjælpen alle sammen :)

Diameteren på kuglen er 4 cm og rumfanget af figuren er 32,724 cm³.