Formel for Uendelig udhæng.

Max udhæng er 1/2 boglængde (her 58/2 cm) uanset hvor mange bøger du bruger.

Hej Mette48

Den er jeg med på. Anden bog 58cm/2, og næste bog 58cm/4, og næste igen  58cm/6 etc.

Jeg mangler en nem formel der kan bruges i excel. Eller resultatet.

Du har ikke lært om momenret i fysik endnu, men måske kender du en der kan forklare hvordan momentet beregnes.

Det misforstod du.

Anden bog 58/2 cm

tredje bog for "bunken" af bøger til at falde på gulvet.

Prøv med 3-4 bøger og se med dine egne øjne, hvad der sker.

#2: Nej. Prøv med et kortspil og du kan nemt komme ud over halvvejs.

Svaret er tæt relateret til den harmoniske række

som divergerer for . Dvs. du kan få et uendeligt stort udhæng med nok bøger.

Afhængig af din matematiske kunnen, se evt. mathworld.wolfram's Book Stacking Problem.

Uddybning og formel:

Da vi i sådan et stablescenarie som her kun skal bekymre os om tyngdepunktets horisontale tyngdepunkt er det irrelevant hvor tykke bøgerne er. Formlen er givet som¹

hvor d_n er udhængslængden og n er antal bøger. Det kan så udregnes:

1. Med 60900 bøger er udhænget d₆₀₉₀₀ ≈  5,7971 bøgernes længde.

2. Med en boglængde på 58cm og et ønsket udhæng på 159,94cm:

så skal der bruges bøger.

¹ http://mathworld.wolfram.com/BookStackingProblem.html

Man skal her være opmærksom på, at hvis man har været i stand til møjsommeligt at stable bibliotekets n bøger med samme dimensioner op i den optimale konfiguration med maksimalt udhæng, og bibliotekaren pludselig finder 1 bog mere til stakken, så skal man løfte hele stakken op og placere den nye bog nederst for stadig at have maksimalt udhæng i den nye stak.

Det er i øvrigt interessant, at forskellen

har en endelig grænseværdi for n → ∞ , den såkaldte Euler-Mascheroni konstant

så når n er meget stor, gælder der med god tilærmelse

Hej

Tak for alle svarene.

Da jeg ikke er matematiknørd, har jeg ved hjælp af excel, the hard way, fundet frem til et udlæg på 336,23 cm eller 5,7971 boglængde, og udhæng på 159,94 ved bog nr. 139.

Jeg vedhæfter mit regneark.

#9

Ja, det er helt i overensstemmelse med resultatetrne i #6.

Har I overhovedet tænkt på fysikken i det her?

Et udlæg på 336 cm betyder at det samlede tyngdepunkt ligger 168 cm fra understøttelsespunktet. Hvordan forventer I at det skal blive hængende? Skal det svæve??

#11

Det er der da tænkt på og taget med i betragtning i de ovenstående beregninger. Se linket i #5.

#11

Vægten er ens på begge sider af understøttelsespunktet.

Tyngdepunktet for de k øverste bøger ligger lige på kanten af den næste underliggende bog.

mette48, #11: Som du kan se på billedet, har jeg stablet kortene så jeg er mere end et korts længde ude over bordkanten. Det var ret nemt at gøre og du kan også se hvor dårligt det er stablet. Af ovennævnte formel burde jeg kunne stable kortene så de stikker 2.26 gange kortenes længde ud over.

Et bedre forsøg her. I øvrigt et rigtig godt spørgsmål, TTjohn. :) Jeg kan huske, jeg på mit første år på universitetet tænkte samme tanke. Det var meget givende, da jeg på det tidspunkt netop havde lært om konvergens og divergens af rækker og at opleve hvordan det kunne bruges i virkeligheden!

I det foregående antages det, at bøgerne er ens, med samme dimensioner og samme homogene massefordeling. Derfor kan problemet reduceres til 1 dimension. Lad os antage, at vi stabler bøgerne "opad" i retning mod den positive x-akse. Lad os antage, at alle bøgerne har længden 1 i x-retningen.

Bog 1 anbringes oven på bog 2, så at præcis halvdelen af dens længde hænger ud. Udhænget er da

        d₁ = 1/2

Placeringen af tyngdepunktet for bog 1 er i afstanden T₁ = 1/2 fra den venstre kant af bog 1. Tyngdepunktet for kombinationen (bog 1 + bog 2) bliver nu i afstanden fra den venstre kant af bog 2

        T₂ = (1/2 + (1/2+1/2)·1)/(1+1) = (3/2)/2 = (3/4) .

Det samlede udhæng for kombinationen (bog 1 + bog 2) er da

        d₂ = d₁ + (1 - T₂) = 1/2 + (1 - 3/4) = (1/2) + (1/4) = (1/2)·(1 + (1/2))

Vi antager nu, at vi har stablet de første k bøger og vi vil anbringe dem på bog k+1. Tyngdepunktets placering regnet fra venstre kant af bog (k+1) er da

        T_k+1 = ((1/2) + ((1/2)+(1/2))·k)/(k+1) = (1+2k)/(2+2k)

og vi har da det samlede udhæng

        d_k+1 = d_k + (1 - T_k+1) = d_k + 1/(2+2k) = d_k + (1/2)·(1/(k+1))

Det er let at vise ved induktion, at det samlede udhæng for n bøger netop bliver givet ved den halve sum af de n første led i den harmoniske række. For n bøger er tyngdepunktets placering T_n regnet fra venstre kant af den nederste bog da

        T_n = (2n-1) / (2n) < 1

dvs. tyngdepunktets placering er altid på den "venstre" side af kanten, og stakken af bøger vil ikke vælte.

Jeg forestiller mig her en jobannonce, hvor der søges efter en bibliotekar med indgående kendskab til maksimalt udhæng.