Hjælp til den MEST KOMPLICERENDE OPGAVE.

Jeg er ikke sikker på at jeg har forstået opgaven. Hvis jeg har forstået det rigtig er problemet at du tror at middelværdien af en funktion af x er det samme som funktionen af middelværdien. Det holder ikke i almindelighed. Her er et meget simpelt eksempel. Udfaldet af x er henholdsvis -1 og +1 middelværdien af x er (-1+1)/2 = 0. middelværdien af x² er  (  (-1)2+1)/2 = (1+1)/2 = 1

Der er tale om log-transformation.
I opgaven har vi nogle  observationer.
Vi laver laver t-test for disse observationer på et logaritmisk-skala, og dermed laver vi t-test ikke på et logaritmisk skala. 
Et eksempel fra opgaven:
På et logaritmisk skaala får vi en middelværdi på 8,857336 og på ikke logaritmisk skala får vi en middelværdi på 7920,014. 
Men ln( 7920,014) er forskellige fra 8,857336. og opgaven gør os opmærksom, at der sker, men hvorfor er 
ln( 7920,014) er forskellige fra 8,857336 ??

Det du forventer er, at hvis middelværdien af x er 7920,014 så vil middelværdien af ln(x) være ln(7920,014); men det holder ikke. Som nævnt i #1 er i almidedelighed middelværdien af f(x) forskellig fra f(middelværdien af x). Mit lille eksempel viser dette. I dit tilfælde er f(x) = ln(x). I mit eksempel var f(x) = x².

Mere generelt. Hvis du har n observationer x₁, x₂, ...x_n er

middelværdien af x

(x₁+x₂+^...x_n)/n

og middelværdien af f(x)

( f(x₁)+f(x₂)+ ^.... f(x_n) )/n

Der er ingen grund til at tro at de udtryk er lige store

Min forventningen er:

Vi har 100 observationer for to gruppers income.
Vi finder deres middelværdi på income, som er 7920,014 $ pr. år.
Når vi laver log-transformation, som betyder, at alle værdierne er på et logaritmisk skala, så får vi en middelværdi 8,857336. Jeg forventer derfor, at middelværdien på ikke logaritmisk skala vil være e^8.857336, som viser at være ikke rigtigt.  
Din eksempel er gode, men jeg ikke kan relatere med min opgave, ellers kan ikke forstå opgaven. Du påstår det samme som opgaven påstår. 

Så prøver jeg med et med logaritmisk skala.

du har fået de to udfald 1 og 2. Middelværdien af dem er 3/2

med logaritmisk skala regner du i stedet for x med ln(x). du får derfor ln(1) og ln(2) Midedelværdien af dem er (ln(1)+ln(2) )/2 = ln(2)/2 = ln(2^½)

Der gælder at e^{ln(2^½)} =2½ = kvrod(2)  ≠ e^3/2

Dit problem er at du drager en forkert konklusion!

Her kan man se, at ln(mean) af x er 8,857336 og ln(mean) af y = 8,257288.

Det er forkert! Ved log-transformationen har du taget

som IKKE må forveksles med

da der generelt gælder (som peter lind giver et glimrende eksempel på i #2)

,              ^{_{Se evt. Jensens ulighed}}

fordi logaritmefunktionen ikke er en lineær transformation.

På R's notation:

mean(log(x)) != log(mean(x))
    ##    [1] TRUE

Har du fået svar på dit spørgsmål eller er det stadig uklart for dig?