Matematik

Differentiation af typen F(x,y,z) = c

17. marts 2015 af Stats - Niveau: A-niveau

$F(x,y,z)=c\Rightarrow z'_x=-\frac{F'_x}{F'_z},z'_y=-\frac{F'_y}{F'_z}$ (8.3)

Ligningen

x - 2y - 3z + z² = -2

Defineres z som en to gange kontinuerlig differentierbar funktion af x og y rundt punktet (x,y,z) = (0,0,2). Beregn z'_x og z'_y. Beregn derefter z''_xx, z''_xy og z''_yy. Find også værdierne af alle disse differentierte i det givne punkt.

løsning:
Vi sætter F(x,y,z) = x - 2y - 3z + z² og c = 2 da er

$F'_x=1,\ F'_y=-2, \ F'_z=2z-3$
Dermed giver (8.3)

$z'_x=-\frac{1}{2z-3}, \ z'_y=-\frac{-2}{2z-3}=\frac{2}{2z-3}$

For x = 0, y = 0, z = 2 får vi specielt z'_x = -1, z'_y = 2
Vi finder z''_xx ved at differentiere udtrykket for z'_x partielt mht. x idet x er en funktion af x og y:

$z''_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( -\frac{1}{2z-3} \right )=\frac{\partial }{\partial x}\left ( -({2z-3})^{-1} \right )=(2z-3)^{-2}2z'_x$

Benytter vi udtrykket for z'_x får vi

$z''_{xx}=\frac{-2}{(2z-3)^3}$

på tilsvarende [...]

Næsten direkte copy paste....

Mit spørgsmål er her:

$z''_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( -\frac{1}{2z-3} \right )=\frac{\partial }{\partial x}\left ( -({2z-3})^{-1} \right )=(2z-3)^{-2}2z'_x$

Denne udregning, hvordan kom de frem til det sidste 2z'_x ?
Anvender de reglen f'(g(x))·g'(x) ? Lidt forvirrende skrevet i bogen....

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. marts 2015 af peter lind

Der bruges reglen om differentiation af sammensat funktion. ∂/∂x f(z) = f'(z)*z'_x

Svar #2
17. marts 2015 af Stats

Okey.. Tak :)

Har grublet over denne i snart 2 dage..

- - -

Mvh Dennis Svensson

Skriv et svar til: Differentiation af typen F(x,y,z) = c

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.