Matematik

Integralregning partiel integration

04. april 2015 af NTNTNTNT (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har problemer med følgende integral stykke:

$\int (lnx)^2dx$

Jeg skriver lige, hvad jeg har gjort indtil videre.

Jeg omskriver:

$\int(lnx\cdot lnx)dx$

Jeg benytter regnereglen for partiel integration:

$=lnx\cdot (x\cdot lnx-x)-\int (\frac{1}{x}\cdot (x\cdot lnx-x))dx$

Det omskriver jeg til:

$=lnx\cdot (x\cdot lnx-x)-\int(logx-1)dx$

Ved ikke om det overhovedet er rigtigt indtil videre, men derfra går det i hvert fald galt. Håber, at der er en, der kan hjælpe.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. april 2015 af Galo1s (Slettet)

Indtil videre ser det fint ud; du mangler blot at evaluere integralet og reducere. Man fortsætter

$\log(x)(x\log(x)-x)-\int(\log(x)-1)dx$

$=\log(x)(x\log(x)-x)-x(\log(x)-2)+c$

$=x(\log^2(x)-2\log(x)+2)+c$ .

Svar #2
04. april 2015 af NTNTNTNT (Slettet)

Hej mange tak for hjælpen.

Jeg forstår ikke din udregning af integralet. Altså, hvordan

$\int log(x)-1$

bliver til

x(log(x)-2)

Brugbart svar (1)

Svar #3
04. april 2015 af Galo1s (Slettet)

$\int(\log(x)-1))dx=\int(\log(x))dx-\int(1)dx=(x\log(x)-x)-x$

$=x\log(x)-2x=x(\log(x)-2)$

Brugbart svar (1)

Svar #4
04. april 2015 af mathon

$\int \ln(x)\cdot \ln(x)\, \textup{d}x=\left ( x\ln(x)-x \right )\cdot \ln(x)-\int \left ( x\ln(x)-x \right )\cdot \frac{1}{x}\, \textup{d}x=$

$\left ( x\ln(x)-x \right )\cdot \ln(x)-\int \left ( x\ln(x)-x \right )\cdot \frac{1}{x}\, \textup{d}x=$

$\left ( x\ln(x)-x \right )\cdot \ln(x)-\int \left ( \ln(x)-1 \right )\, \textup{d}x=$

$\left ( x\ln(x)-x \right )\cdot \ln(x)-\left ( x\ln(x)-x-x \right )+C=$

$\left ( x\ln(x)-x \right )\cdot\left ( \ln(x)-1+x \right ) \right )+C=$

$\left ( x\ln(x)-x \right )\cdot\left ( \ln(x)+x-1 \right ) \right )+C$

Brugbart svar (1)

Svar #5
04. april 2015 af mathon

eller:
$\left ( x\ln(x)-x \right )\cdot \ln(x)-\left ( x\ln(x)-x-x \right )+C=$

$x\ln^2(x)-x\ln(x)-x\ln(x)+2x+C=$

$x\ln^2(x)-2x\ln(x)+2x+C$

Brugbart svar (1)

Svar #6
04. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

I din første partielle integration benytter du, at du allerede kender en stamfunktion til ln(x), og denne burde du jo kunne bruge igen til det sidste integral (der også bør skrives med ln(x) og ikke log(x)). Hvis man ikke kender (eller kan huske) stamfunktionen til ln(x), kan man gå frem på en lidt anden måde ved at flytte produktet til

ln(x)² = 1 · ln(x)² .

Man har så

$\int (\ln x)^{2}\, \textup{d}x=\int 1\cdot (\ln x)^{2}\, \textup{d}x=x (\ln x)^{2}-\int x\cdot 2 \ln x\cdot \frac{1}{x}\, \textup{d}x\newline\newline =x (\ln x)^{2}-2 \int \ln x \, \textup{d}x=x (\ln x)^{2}-2 x \ln x+2 \int x\cdot \frac{1}{x}\, \textup{d}x\newline\newline =x(\ln x)^{2}-2 x \ln x+2x+k$

Svar #7
05. april 2015 af NTNTNTNT (Slettet)

Mange tak

Svar #8
05. april 2015 af NTNTNTNT (Slettet)

Måske der er en, som også vil hjælpe med følgende stykke?

∫ln?x/√x dx

Brugbart svar (1)

Svar #9
05. april 2015 af Galo1s (Slettet)

Det er jo den samme fremgangsmåde.

$\int(\log(x)\sqrt{x}\,)dx=\log(x)\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\int(\frac{1}{x}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}})dx$

$=\frac{2}{3}\log(x)x^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{9}x^{\frac{3}{2}}+c=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}(\log(x)-\frac{2}{3})+c$ .

Brugbart svar (1)

Svar #10
05. april 2015 af mathon

Hvis
          ∫ln?x/√x dx   betyder:
                                               $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \ln(x)\textup{ d}x$
har man
                                               $2\cdot \int \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \ln(x)\textup{ d}x=2\cdot \left ( \sqrt{x}\cdot \ln(x)-\int \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}\textup{ d}x\right )=$

$2\cdot \left ( \sqrt{x}\cdot \ln(x)-2\cdot \int \frac{1}{2\sqrt{x}}\textup{ d}x\right )=2\sqrt{x}\ln(x)-4\sqrt{x}+k$

Skriv et svar til: Integralregning partiel integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.