Matematik

vis, ved at rotere grafen for funktionen....

05. april 2015 af Jens6554545 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Kan jeg få hjælp til denne opgave:

2) vis, ved at rotere grafen for funktionen

f(x)=√r²-x², -r $\leq$ x $\leq$ r

360^o rundt om x-aksen, at en kugle med raius r har volumenet

V=4/3 $\pi$ ³

Jeg ved hvert fald at man skal bruge denne formel, men så kan jeg ikke rigtig overskue hvad det næste jeg skal gøre er. Håber nogen kan hjælpe:-)

Vx = π · $\int_{a}^{b}$ (f(x))²dx

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. april 2015 af Therk

Hov! Du har vist skrevet volumen for en kugle med radius r forkert op. Den er da ikke konstant. :) Du skal vise at

$V = \frac 43 \pi r^3$

ved netop at indsætte din funktion og dens grænseværdier i det integrale du har skrevet op. Dvs. beregn:

$V_r = \pi \int_{-r}^r \big(\sqrt{r^2-x^2}\big)^2\, \mathrm dx$

Svar #2
05. april 2015 af Jens6554545 (Slettet)

Ok tak, men hvordan i alverden skal jeg regne det ud i hovedet. Opgaven er nemlig uden hjælpemidler, kan du vise mig hvordan jeg regner et sammensat integrale ud. Det har jeg nemlig ikke prøvet før.

Tak på forhånd:-)

Brugbart svar (1)

Svar #3
05. april 2015 af Therk

Hov da. Det er nu heller ikke nemt at regne i hovedet! Men hvis du skal regne på papir, så start med at ophæve kvadratroden - den går ud med potensen! Så du skal beregne

$\pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) \, \mathrm dx$

Så har du en regel, som siger at integralet af en sum er lig summen af integralerne. Med andre ord

$\pi\cdot \Big( \int_{-r}^r r^2\, \mathrm dx - \int_{-r}^r x^2 \, \mathrm dx\Big )$

Det første integrale er et konstant integrale og det andet integrale har du nok prøvet at løse før. Bliv endelig ikke forvirret af at grænserne ikke er "kendte" tal - de skal indsættes på samme måde som normalt, når vi finder bestemte integraler.

Svar #4
05. april 2015 af Jens6554545 (Slettet)

Ok, så stamfunktionen til andet led er 1/3x³.

og stamfunktionen til første led må så være 1/3r³

Er det rigtigt?

Brugbart svar (1)

Svar #5
05. april 2015 af Therk

Andet led: Rigtigt!

Første led: Nej - du skal integrere mht. x!

Hint: $r^2 = r^2\cdot x^0$

Svar #6
05. april 2015 af Jens6554545 (Slettet)

Det kan jeg ikke finde ud af:-(

Brugbart svar (1)

Svar #7
05. april 2015 af Therk

Hvad differentieres

$f(x) = r^2\cdot x$

til?

Svar #8
05. april 2015 af Jens6554545 (Slettet)

2x*1

Brugbart svar (1)

Svar #9
05. april 2015 af Therk

Du skal differentiere i forhold til x og lade som om at r er et tal! r er konstant!

Svar #10
05. april 2015 af Jens6554545 (Slettet)

ok så

2r?

Brugbart svar (1)

Svar #11
05. april 2015 af Therk

Nej. Lad som om at r^2 er en konstant. Konstanter rører vi ikke ved, når vi differentierer og integrerer!

$f(x) = {\color{blue}r^2} \cdot x^1 \Rightarrow f'(x) = 1\cdot {\color{blue}r^2} \cdot x^0 = {\color{blue}r^2}$

Du må ikke lade dig forvirre af at konstanten er opløftet i anden! Der kunne i realiteten stå hvad som helst; så længe det ikke er afhængigt af differentieringsvariablen, så skal vi lade det være!

Men det betyder at

$\int_a^b \text{\{en eller anden konstant\}} \, \mathrm dx = \big[ \text{\{en eller anden konstant\}}\cdot x\big]_a^b$

Giver det mening?

Svar #12
05. april 2015 af Jens6554545 (Slettet)

Ok det forsår jeg godt, er dette så rigtigt:

$\pi$ (1/3x³)-(r²*x) =

$\pi$ (1/3*r³)-(r²*(-r)) = (4*r³)/3 = 4/3* $\pi$ *r³

Brugbart svar (1)

Svar #13
05. april 2015 af Therk

Som du har skrevet det: Nej, men jeg tror du har fanget den og lavet opgaven rigtigt. Prøv evt. at uploade et billede af dine udregninger, så du ikke behøver skrive det ind her!

Svar #14
05. april 2015 af Jens6554545 (Slettet)

Sådan har uploadet:-)

Vedhæftet fil:Udklip.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #15
05. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

#14

Du skal indsætte både den øvre og den nedre grænse og du skal medtage faktoren π hele tiden. De to sidste led i dit vedlagte summeres jo kun til (1 - 1/3)r³ = (2/3)r³ .

Svar #16
05. april 2015 af Jens6554545 (Slettet)

Ok, mange tak for det:-)

Brugbart svar (1)

Svar #17
05. april 2015 af Therk

På anden linje skal du have en parentes, så du får $\pi$ ganget på begge integraler.

På linje tre skal du indsætte begge grænser. Du har kun indsat én af grænserne i de to udregninger

Der gælder jo

$\big[ F(x)\big]_a^b = F(b)-F(a)$

Skriv et svar til: vis, ved at rotere grafen for funktionen....

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.