diff ligning

Opg. a)
Bestem u' og v' for u = 3 og v= 4.

Opg. b)
Differentier den øverste og udtryk derefter u'' ved u, ved at substitution af den nederste differential ligning. Dette giver en simpel harmonisk oscilator.
Gør det samme for den nederste ligning.
Herved af du ukomplet de to differentialligninger.

Eller løs den ukomplet ligning for u og brug at u' = v til at bestemme en løsning v.

#1

a) Det forstår jeg ikke helt.. dvs. differentiere dem ikk? Men når man differentiere en konstant er det så ikke nul? :/

Bemærk, det kræves ikke, at du løser ligningerne. Det er mere en grafisk opgave. Fase-plottet skulle se nogenlunde sådan ud (u er ud ad første-aksen og v ad anden-aksen):

Fra http://www.math.missouri.edu/~bartonae/pplane.html.

#3

Tak, men det vidst nok til opg b. Godt nok forstår jeg hellere ikke den, men jeg fortrækker at tage en opg af gangen ellers ka jeg ikk rigtig finde rundt i det :D

#4

I a) bliver vi bedt om at finde vektoren (u'(t),v'(t))=(v(t),-2u(t)), når u(t)=3 og v(t)=4. Bemærk igen at der ikke siges noget om hvad t er, så vi behøver ikke at løse ligningerne med hensyn til t. 

Vektoren er (4,-2·3)=(4,-6). Svaret er dermed: u'(t)=4 og v'(t)=-6 i punktet (u,v)=(3,4).

Bemærk også, at det ikke er tallene 3 og 4, der skal differentieres. Det svarer til, at du bliver spurgt: hvad er differentialkvotienten for f(x)=x², når x=5. Her er det jo heller ikke 5, der skal differentieres.

#5

Vekor ? Nu forstår jeg intet! Hvordan kommer vektor ind i billedet?

Men skal man i opg a) så skrive:

3´(t)=4(t)
4'(t)=-2*3(t)

#6. Prøv som antydet i #1 at forestille dig et pendul, der svinger uden dæmpning i en ellipseformet bevægelse som antydet på faseplottet i #3. Bevægelsen har en hastighedsvektor og en parameterfremstilling med t som parameter. Den starter i punktet (10,10). Bevægelsen går i ring, og den bane, som den beskriver, ændrer sig ikke med t.

Faseplottet er løsningskurven indtegnet i et (u,v)-koordinatsystem. Af de to differentialligninger

        du/dt = v(t)

        dv/dt = -2u(t)

får man

        dv/du = -2u/v

dvs.

        v dv = - 2u du

hvor de variable er separeret, og hver side kan umiddelbart integreres

        (1/2)v² = -u² + k

For løsningskurven med u(0) = 10 , v(0) = 10, har man da

        u² + (1/2)v² = 10² + (1/2)·10² = 150

dvs

       

der fremstiller en ellipse i (u,v)-faserummet.