Matematik

Spørgsmål vedr. gættemetoden

16. maj 2015 af hug,go (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg tillader mig lige at stille dette spørgsmål igen, da jeg desvære ikke forstod det første gang i denne tråd: https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1602747#1602759

hvis jeg skal løse diff. ligningen y''+y'-2y=x^2 gætter jeg på at den partikulære løsning er et polynomie, så

y_0(x)=Ax^2+Bx+x+C og

y'_0(x)=2Ax+B og

y''_0(x)=2A

Indsætter jeg dette i min diff. lign. får jeg

x^2=2A+2Ax+B-2Ax^2-2Bx-2C <=>

x^2=x^2(-2A)+x(2A-2B)+(2A+B-2C)

men hvordan bestemmer jeg så A, B og C?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. maj 2015 af mathon

Hvis
x^2=x^2(-2A)+x(2A-2B)+(2A+B-2C)
så
$x^2=x^2\underset{1}{\underbrace{(-2A)}}+x\underset{0}{\underbrace{(2A-2B)}}+\underset{0}{\underbrace{(2A+B-2C)}}$

$\begin{matrix} A=-\frac{1}{2}\\\! \! \! B=A \\C=\frac{3}{2}A \end{matrix}$

Svar #2
16. maj 2015 af hug,go (Slettet)

Jeg forstår ikke hvordan man kan nøjes med at kigge på x^2(-2A) for at bestemme A og ligeså med B og C. Og så er jeg ikke helt sikker på hvad du mener med 1,0 og 0?

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. maj 2015 af mathon

$\begin{matrix} \! A=-\frac{1}{2}\\\! B=-\frac{1}{2} \\C=-\frac{3}{4} \end{matrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. maj 2015 af mathon

$x^2=x^2\cdot 1+x\cdot 0+0$

x^2=x^2

Svar #5
16. maj 2015 af hug,go (Slettet)

okay, kan se hvad der menes med 1,0 og 0. Men kan stadig ikke se hvorfor fx. -2A=1.

Måske er det smartere at gøre som i min lærebog, som siger at man skal gætte på en funktion der ligner - i dette tilfælde x^2. Altså ville mit regnestykke se sådan ud:

substituerer k*x^2 med y og får

(k*x^2)''+(k*x^2)'-2*k*x <=> 2k+2kx-2kx^2=x^2

isolerer jeg k, får jeg k=1/2x

resultatet bliver så y_p(x)=1/2x*x^2, men det resultat stemmer jo ikke. Så hvad gør jeg galt her?

Brugbart svar (1)

Svar #6
16. maj 2015 af mathon

fordi
           (k*x^2)''+(k*x^2)'-2*k*x <=> 2k+2kx-2kx^2=x^2    ikke har en løsning på dit problem,
hvilket dit oprindelige forslag
             y_0(x)=Ax^2+Bx+C har
nemlig:

            $\begin{matrix} \! A=-\frac{1}{2}\\\! B=-\frac{1}{2} \\C=-\frac{1}{4} \end{matrix}$

y_0(x)=Ax^2+Bx+C

$y_0{\, }'(x)=2Ax+B$

$y_0{\, }''(x)=2A$

$y_0{\, }''(x)+y_0{\, }'(x)-2y_0=2A+2Ax+B-2\left ( Ax^2+Bx+C \right )=$

-2Ax^2+(2A-2B)x+(B-2C)=

$-2\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )x^2+2(0)x+\left(-\frac{1}{2}-2\cdot \left ( -\frac{1}{4} \right )\right)=x^2$

hvilket viser, at koefficinetløsningssættet
er
$\begin{matrix} \! A=-\frac{1}{2}\\\! B=-\frac{1}{2} \\C=-\frac{1}{4} \end{matrix}$

hvorfor
$y_p=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$

$y_h=c_1\cdot e^{-2x}+c_2\cdot e^x$

så
$y=y_h+y_p=c_1\cdot e^{-2x}+c_2\cdot e^x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$

Svar #7
16. maj 2015 af hug,go (Slettet)

har styr på det nu, tak

Skriv et svar til: Spørgsmål vedr. gættemetoden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.