Matematik

Panserformlen til løsning af 1. ordens differentialligning

16. maj 2015 af Rhinoceros (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej

Nogle der kan komme med et hint til hvorledes nedenstående ligning skal løses ?

dy/dx = x^2 + y 

Jeg har prøvet med formlen dy/dx - y = x^2 

y´ - y = x^2 

differentierer et par gange og får y´´´´ - y´´´= 0 og herefter 

y´´´´/y´´´ = 1 som jeg integrerer og ender med 

y´= c1e^x + c2x + c3 og 

y = c1e^x + ½c2x^2 + c3x + c4

men så synes jeg ikke jeg kan finde konstanterne - suk.

Hvis jeg skal sætte y og y´ind i ligningen y´- y = x^2 

så får jeg løsningen y = c1e^x +x^2 

men det er ikke løsningen jf. opgaveteksten, hvor de var så venlig at skrive løsningen, da det er et bevis.

Nogle der kan hjælpe ?


Brugbart svar (0)

Svar #1
16. maj 2015 af mathon

                 y{\, }'-y=x^2                                       multiplicer med e^{-x} på begge sider

                 e^{-x}\cdot y{\, }'-e^{-x}\cdot y=e^{-x}\cdot x^2

                 \frac{\mathrm{d}\left ( e^{-x}\cdot y \right )}{\mathrm{d} x}=e^{-x}\cdot x^2

                 \mathrm{d}\left ( e^{-x}\cdot y \right )=e^{-x}\cdot x^2\, \textup{d}x

                 \int \mathrm{d}\left ( e^{-x}\cdot y \right )=\int e^{-x}\cdot x^2\, \textup{d}x

                 e^{-x}\cdot y \right )=\int e^{-x}\cdot x^2\, \textup{d}x

hvor
           \int e^{-x}\cdot x^2\, \textup{d}x=-e^{-x}\cdot x^2+2\int e^{-x}\cdot x\textup\, {d}x=-e^{-x}\cdot x^2+2\left ( -e^{-x}\cdot x+\int e^{-x}\, \textup{d}x \right )=

                           -e^{-x} x^2-2e^{-x}x-2e^{-x}+C

dvs

                        e^{-x}\cdot y \right )=-e^{-x} x^2-2e^{-x}x-2e^{-x}+C

                        y =C\cdot e^x-x^2-2x-2
               


Brugbart svar (1)

Svar #2
16. maj 2015 af mathon

Hvis løsningen er
                               \mathbf{\color{Red} y} =C\cdot e^x-x^2-2x-2
er
                               \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=C\cdot e^x-2x-2=\left (\mathbf{\color{Red} C\cdot e^x-x^2-2x-2} \right )+x^2=y+x^2


Svar #3
16. maj 2015 af Rhinoceros (Slettet)

Jeg takker for hjælpen mathon - cool.


Brugbart svar (0)

Svar #4
16. maj 2015 af Soeffi

#0

Må jeg høre hvordan opgaven lød helt præcist?


Brugbart svar (0)

Svar #5
16. maj 2015 af Soeffi

#0. Skal du besvise, at en given funktion var en løsning eller skal du finde den fuldstændige løsning?


Svar #6
17. maj 2015 af Rhinoceros (Slettet)

hæ hæ gik over åen efter vand. Skulle vise at funktionen f(x)=Cex - x- 2x -2 er løsning til

dy/dx = x2 + y

så kan man jo i "teorien" bare sætte f(x) ind på y´s plads og differentiere f(x) og sætte det ind på dy/dx´s plads og hvis de to udtryk er ens, så er det en løsning. Jeg kunne bedre lide Mathons udregninger :O)

Takker for jeres tid. Jeg lærte noget.


Brugbart svar (0)

Svar #7
17. maj 2015 af Soeffi

Ok. Du nævner Panserformlen i overskriften; jeg kan sige, at den ville give nogenlunde de samme beregninger som i #1.


Skriv et svar til: Panserformlen til løsning af 1. ordens differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.