Matematik
Hvordan kan dette lade sig gøre?
Det første virker ulogisk. Dette er beviset på, at:
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2
Beviset er:
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
1 - S = 1 - [1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...] = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...
og derfor er S = 1 - S ⇔ 2·S = 1 ⇔ S = 1/2 Q.E.D
Hvordan kan dette være korrekt... Man vil vel egentlig sige, at siden der er tale om en uendelig række, så vil denne ikke være lig med noget som helst...
Det næste følger af beviset på at:
S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12
Til dette anvender man, at:
S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
2S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
+ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = 1/2
Derfor er 2S2 = 1/2 ⇔ S2 = 1/4
Vi anvender nu, at:
S1 - S2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...
- [1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...]
= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + ...
= 4·(1 + 2 + 3 + ...)
= 4·S1
Man har nu:
S1 - S2 = 4·S1 ⇔ - S2 = 3·S1 ⇔ - 1/4 = 3·S1 ⇔ - 1/12 = S1 Q.E.D
Er der tale om noget fupnummer her??? Hvordan kan en sum af alle naturlige tal, blive til et negativt tal?
Svar #1
17. oktober 2015 af Heptan
Typisk for en geometrisk serie kan man bestemme en grænseværdi.
Fx
som kaldes en konvergent serie.
Man kan bestemme en grænseværdi for en sådan serie, hvis hvert led bliver mindre og mindre.
Hvis en serie ikke er konvergent, er den divergent. Man kan lave de samme matematiske tricks, men for at finde en grænseværdi kræver det at den eksisterer til at starte med, altså at serien er konvergent, hvilket ikke er tilfældet for dem du har skrevet.
Man får et tal alligevel, men det vil ikke være grænseværdien. Tallet vil være hvad grænseværdien ville være, hvis serien var konvergent.
Man kan altså ikke fortolke det som en grænseværdi. Hvis serien skifter mellem to værdier vil man få gennemsnittet ... det viser sig også at være tilfældet for konvergente serier, da gennemsnittet er lig med grænseværdien.
Svar #2
17. oktober 2015 af Stats
Ok.. Så... Man har altså ikke et endegyldigt svar på mit spørgsmål :-)
Men kan man så godt tillade sig, at sætte lighedstegn der hvor de er sat i #0?
Og tak for dit svar Heptan :-)
Mvh Dennis Svensson
Skriv et svar til: Hvordan kan dette lade sig gøre?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.