Matematik

Fourierrække og integration

03. november 2015 af hammer26 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har følgende ulige og 2π periodisk i intervallet [0;π] funktion f(t):

$f(t) = \frac{\pi }{8}(\pi t-t^{2}), 0\leq t\leq \pi$

Jeg skal vise at f har fourierrækken:

$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{sin((2n-1))t)}{(2n-1)^{3}}$

Da f er ulige er a_n = 0 så jeg skal kun bruge b_n

$b_{n}= \frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }\frac{\pi }{8}(\pi t-t^{2})sinntdt = \frac{1}{4}\int_{0}^{\pi }(\pi t-t^{2})sinntdt$

Jeg kan simpelthen ikke integrere det og få den fourierrække????

Brugbart svar (1)

Svar #1
03. november 2015 af peter lind

Du kan integrere ∫t²*sin(n*t)dt ved brug af partiel integration to gange . Integrer sinusfunktionen og differentierer polynomiet

Svar #2
04. november 2015 af hammer26 (Slettet)

$\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi } (\pi t-t^{2})sin(nt)dt = -\frac{1}{4n}\left [ t(\pi -t)cos(nt) \right ]_{0}^{\pi } + \frac{1}{4n }\int_{0}^{\pi }(\pi -2t)cos(nt)dt$

$= 0 + \frac{1}{4n^{2}}\left [ (\pi -2t)sin(nt) \right ]_{0}^{\pi } + \frac{2}{4n^{2}}\int_{0}^{\pi }sin(nt)dt = 0-\frac{2}{4n^{3}}\left [ cos(nt) \right ]_{0}^{\pi }$

$= \frac{1}{2}*\frac{1}{n^{3}}\left \{ 1-(-1)^{n} \right \}$

Jeg ved at for en ulige funktion kan n sættes = 2n-1. Men jeg har den 1/2 ??? den passer jo ikke ind.

Svar #3
04. november 2015 af hammer26 (Slettet)

det er jo ligegyldigt hvad n er lig med så vil det altid give 2 og så har jeg kun 1/n^3 tilbage.

Svar #4
04. november 2015 af hammer26 (Slettet)

#1 Kan du hjælpe mig med om fourierrækken er konvergent med sum f(t) for alle t∈R ?

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. november 2015 af peter lind

rækken er absolut konvergent såden konvergerer mod f(t)

Svar #6
04. november 2015 af hammer26 (Slettet)

Og hvordan ser du det?

Brugbart svar (1)

Svar #7
04. november 2015 af peter lind

Rækken er omvendt proportional med n³

Skriv et svar til: Fourierrække og integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.