Real analyse:

Jeg ville gribe problemet an vha. definitionen af en åben mængde.

Definitionen foreholder mig naturligvis til, men jeg synes ikke at jeg kan få det til at give mening i forhold at A+B også skal være åben. hmm.. måske fordi jeg i mit hoved har svært ved at forstå A+B sådan helt. Anyway, skriv gerne mere om muligt :)

Når du skriver A+B er det vel minkowskisummen A+B={a+b|a∈A, b∈B}?

Hvis nu du lader a∈A være vilkårligt, da findes en åben kugle B_r(a)⊂A, hvis du translaterer denne åbne kugle med b'∈B får du en ny åben kugle B_r(a+b')⊂A+b', da gælder at ∪_b∈BB_r(a+b)⊂∪_b∈B (A+b)=A+B

∪_b∈BB_r(a+b) er åben og indeholder a+b for alle a og b, så alle punkter i A+B er indre punkter, det vil sige at A+B er åben.

Det er sådan jeg ville gøre, men jeg kan se at du skriver reel analyse, så du vil måske hellere have et svar med nogle følger og epsiloner? :/

Hvis jeg transletere den åbne kugle med ? Hvordan skal det forståes ?

#3 ∪_b∈BB_r(a+b)⊂∪_b∈B (A+b)=A+B

Ovenstående notation er jeg ikke helt med på?

En translation er når du bare lægger et punkt til mængden:  hvor x er fra det rum som du arbejder i. At sådan en translation af en åben mængde igen er åben skal nok også vises hvis det ikke allerede er gjort.

 det er bare foreningsmængder? B_r-notationen er måske lidt dårlig, men det skal bare være åbne kugler!

#3

∪_b∈BB_r(a+b) er åben o

Hvorfor er den åben?

En forening af åbne mængder er igen åben!

Puha, jeg skal da lige love for at abstraktionsniveauet er skudt i vejret i reel analyse. Tak for hjælpen!

Af rén nysgerrighed: hvad seå hvis A og B så er lukkede. Der er A+B vel lukket? Hvordan vil du argumentere for det?

Som sagt er jeg ikke helt sikker på at det er sådan et bevis der er tiltænkt, men måske en omskrivning hvor man bruger nogle følger eller noget?

Hvis A og B er lukkede gælder det ikke generelt at A+B er lukket, du kan jo prøve at konstruere et modeksempel! Dog gælder der at hvis A og B er lukkede og enten A eller B er kompakt så er A+B lukket. Ligeledes kan du se at beviset i #3 kun bruger at A er åben, det vil sige at hvis bare A eller B er åben så er A+B åben! :)