Matematik

Har brug for hjælp!! :) (MATINTRO)

05. december 2015 af Arameo (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Opgaven lyder som)

Denne opgave handler om, hvor god en tilnærmelse taylorpolynomiet er til den taylorudviklede funktion.

Lad f(x)=ln(x) og lad T_n(x) være taylorpolynomiet af grad n omkring x = 1

Brug Maple/CAS program til direkte at finde taylorkoefficienterne $\frac{f^{(i)}*(1)}{i!}$ for i = 0, … , 9, og sammenlign med det direkte Maple–kald af T_9(x) vha. mtaylor.

b) Find vha. Maple/CAS program et udtryk for den n’te taylorkoefficient $\frac{f^{(n)}*(1)}{n!}$ :

Har fået besvaret på spørgsmål a, men har nu problem med spørgsmål b.. Håber nogen herinde kan hjælpe :))

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. december 2015 af SådanDa

I første omgang handler det vel så om at finde et udtryk for den n'te afledte af logaritmefunktionen, prøv at se hvad der sker med den når du differentierer, er der et mønster? :)

Brugbart svar (2)

Svar #2
05. december 2015 af SådanDa

$\frac{\textup{d}}{\textup{d}x}\log(x)=-\frac{1}{x}$

$\frac{\textup{d}^2}{\textup{d}x^2}\log(x)=\frac{1}{x^2}$

$\frac{\textup{d}^3}{\textup{d}x^3}\log(x)=-\frac{2}{x^3}$

$\frac{\textup{d}^4}{\textup{d}x^4}\log(x)=\frac{6}{x^4}$

Hmm, den er alternerende, så (-1)ⁿ, så er der en konstant der bliver delt med xⁿ, og hvis man selv udledte differentialerne ville man godt kunne overbevise sig selv om at konstanten er lig (n-1)!, så altså ville et bud være at:

$\frac{\textup{d}^n}{\textup{d}x^n}\log(x)=(-1)^n\frac{(n-1)!}{x^n}$

Hvilket også simpelt kan vises ved induktion.

Da den n'te taylorkoefficient er f⁽ⁿ⁾(1)/n! fås at:

$\frac{f^{(n)}(1)}{n!}=\frac{(-1)^n\frac{(n-1)!}{1^n}}{n!}=(-1)^n\frac{(n-1)!}{n!}=(-1)^n\frac{1}{n}$

Svar #3
05. december 2015 af Arameo (Slettet)

Men lige en ting.. ifølge mine tidligere beregniner, der burde n=9 gi en taylorkoefficient på ca. 1/9.. Hvorfor gir det lige pludselig' -1/9? når jeg benytter mig af: $(-1)^n*\frac{1}{n}$ ?? :)

Brugbart svar (1)

Svar #4
05. december 2015 af Therk

Fordi det skal være . Fortegnene er forkerte i #2.

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. december 2015 af SådanDa

Ja #4 har helt ret, jeg har fået skrevet -1/x som differentialkvotienten for log(x), det er selvfølgelig forkert og skulle have været 1/x, så fortegnende skal skiftes over det hele, og det bliver (-1)ⁿ⁺¹, det var en smutter, ups :)

Svar #6
05. december 2015 af Arameo (Slettet)

Kan i også hjælpe med følgende spørgsmål? :)

c) Lav et pointplot af n'te-grads leddet i T_n(x) for x=2.01 , og x=2.001 . Vælg tilpas stor, så du kan se en tendens. Prøv dig frem med 10’er potenser.

Håber i kan hjælpe :), da jeg har virkelig problem med at plotte noget ind i n'te :) (især med programmet Maple.)

Skriv et svar til: Har brug for hjælp!! :) (MATINTRO)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.