Matematik

Sandsynlighedsteori - spørgsmål om tætheder.

14. december 2015 af ALMAMERENGUE - Niveau: Universitet/Videregående

1) Vi ved at en stokastisk variabel (X,Y) har samme fordeling som T( (X,Y) ), hvor T er en ortogonal transformation  - det vil sige, givet ved en ortogonal matrix.

2) Vi ved at T( (X,Y) ) har tæthed f(x,y).

Spørgsmål: Har (X,Y) også tæthed f(x,y)? Ja? Nej? Hvad kommer det an på? 


Brugbart svar (0)

Svar #1
14. december 2015 af Therk

Lad F og G være fordelingsfunktionerne for T((X,Y)) og (X,Y), hvor F har tæthed f. Hvis to stokastiske variable er ens i fordeling, så har de samme fordelingsfunktion:

T((X,Y)) \stackrel{\mathcal D} = (X,Y) \quad \Rightarrow F = G.

Det følger direkte af definitionen på at være ens i fordeling:

Z_1 \stackrel{\mathcal D} = Z_2 \quad \Leftrightarrow \quad P(Z_1\leq x) = P(Z_2 \leq x)

og generaliseres til flere dimensioner komponentvis.

Hvis F har tæthed, så er den absolut kontinuert og da F = G, er også G absolut kontinuert. For en absolut kontinuert funktion, G, eksisterer der en Lebesgue-integrabel funktion g

G(x,y) = \int_{A} g(\boldsymbol t)\, \mathrm d(\boldsymbol t)

over mængden

A = (-\infty,x]\times \left(-\infty,y\right] med notationen \boldsymbol t = (t_1,t_2).

Det betyder at vores integraler er ens

\int_A f(\boldsymbol t)\,\mathrm d\boldsymbol t = F(x,y) = G(x,y) = \int_A g(\boldsymbol t)\, \mathrm d\boldsymbol t

En konsekvens af det er at f = g næsten overalt.

\rule{7cm}{0.4pt}

Hvad er så svaret på dit spørgsmål?

"Ja og nej". Nej, fordi der kan eksistere nulmængder, hvorpå de ikke er ens. Ja, fordi vi kan ignorere nulmængderne i en sandsynlighedsteoretisk sammenhæng. Implikationen er at til alle beregninger af (X,Y) kan vi benytte tætheden f.


Skriv et svar til: Sandsynlighedsteori - spørgsmål om tætheder.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.