Matematik

Opstilling af integral ud fra uligheder

02. januar 2016 af Apaas (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Har lidt problemer med at opstille integraler for uligheder som denne (se vedhæftet)...
Er med på at det skal være over funktionen 1.

Men jeg har svært ved at se logikken i hvilke grænser jeg skal sætte ind.
Ud fra uligheden vil jeg jo sige at y skal integreres fra 0 til x^2+y. Og x skal fra x^2+y^2 til x ?!?!? :)

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. januar 2016 af Soeffi

Hvad hedder den funktion, som du skal integrere?

Vedhæftet fil:Untitled2.png

Svar #2
02. januar 2016 af Apaas (Slettet)

Det er arealet: Dobbeltintegralet 1 dA

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. januar 2016 af Soeffi

#2 Det er arealet: Dobbeltintegralet 1 dA

Det er arealet af det blå område. Fra en halvcirkel skal du trække overlappet mellem cirklerne. Dette kan beregnes som det dobbelte af arealet af det cirkelafsnit, som du får ved at forbinde skæringspunkterne mellem dem.

Svar #4
02. januar 2016 af Apaas (Slettet)

Jeg er med på at det er det areal, og jeg har udregnet det til 1/4 ved at omskrive til polære koordinater.

Kan jeg udregne det vha kartesiske koordinater også, og i så fald, hvordan skal grænserne se ud?

Forstår ikke helt dette : "Dette kan beregnes som det dobbelte af arealet af det cirkelafsnit, som du får ved at forbinde skæringspunkterne mellem dem."

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. januar 2016 af Soeffi

Cirkelafsnittet er vist med rødt.

Vedhæftet fil:Untitled3.png

Svar #6
02. januar 2016 af Apaas (Slettet)

Det kan jeg se, men kan man ikke opstille et itereret integral i kartesiske koordinater ud fra det vi ved om området?

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. januar 2016 af Soeffi

Du har cirklerne:

x^2 + (y-0,5)^2 = 0.25 og

(x-0.5)^2 + y^2 = 0.25. Disse kan i første kvadrant omskrives til funktionerne:

y = 0.5 - sqrt(0.25-x^2) og y = sqrt(0.25-(x-0.5)^2), der afgrænser området. Arealet er:

$\int_{0}^{0,5}0.5-\sqrt{0,25-x^2}\;dx+\int_{0,5}^{1}\sqrt{0,25-(x-0,5)^2}\;dx=0,25$

Vedhæftet fil:Screen Shot 2016-01-02 at 11.14.16 PM.png

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. januar 2016 af Therk

Hvis du absolut gerne vil lave et itereret integrale i kartesiske koordinater og integrere over funktionen 1, så skal du lade den ene variabel være afhængig af den anden. Split dine uligheder op i alle de tilfælde, der gælder:

$\begin{align*} 0&\leq y\\ y & \leq x^2+y^2 & \quad \Rightarrow \quad y &\leq \frac12 \left(1-\sqrt{1-4x^2}\right)\\ x^2+y^2&\leq x &\quad \Rightarrow \quad y&\leq \sqrt{x-x^2} \end{align*}$

For resultatet af ulighed 2, se at vi skal løse andengradsligningen

$-y^2+y-x^2 \leq 0$

så løs den tilsvarende ligning hvor uligheden erstattes med et lighedstegn. Det giver dig to løsninger og du skal bruge den mindste af de to. Resultatet af de udregninger har jeg skrevet op herover.

Vi har nu to øvre grænser for y. For x, ved vi fra ulighed 1 at også x er større end nul og resultatet fra ulighed 3 er kun defineret for x ≤ 1. Derimod, resultatet fra ulighed 2 siger at x ≤ 1/2. Sidstnævnte er dog en restriktion på y, dvs y skal opfylde den ulighed, for x ≤ 1/2 og så resultatet fra ulighed 3 derfra. Det giver os grænserne

$\begin{align*} 0&\leq x \leq 1\\ 0& \leq y \leq \begin{cases} \min\left\{\frac12 \left( 1-\sqrt{1-4x^2}\right ),\sqrt{x-x^2}\right\}, &0\leq x \leq 1/2\\ \sqrt{x-x^2} , & 1/2\leq x \leq 1 \end{cases}\end{align*}$

så integrer over de grænser, naturligvis y først og del evt. integralet op i de to cases, dvs. det itererede integrale bliver

$\int_0^{1/2} \int_0^{\min\left\{ 1/2\left(1-\sqrt{1-4x^2} \right ), \sqrt{x-x^2}\right\}} 1 \, \mathrm dy\, \mathrm dx + \int_{1/2}^1 \int_0^{\sqrt{x-x^2}}1\, \mathrm dy\, \mathrm dx$

Det kan vises at grænsen involverende en minimumsfunktion herover kan reduceres, da

$1/2\left(1-\sqrt{1-4x^2} \right ) \leq \sqrt{x-x^2}, \quad x\in[0,1/2]$

og så er det jo "ligefrem" at regne,

$\int_0^{1/2} \int_0^{1/2\left(1-\sqrt{1-4x^2} \right )} 1 \, \mathrm dy\, \mathrm dx + \int_{1/2}^1 \int_0^{\sqrt{x-x^2}}1\, \mathrm dy\, \mathrm dx = \left(\frac14 - \frac{\pi}{16}\right) + \frac{\pi}{16} = \color{red}\frac 14.$

Vi bør dog under formelle omstændigheder først vise at relationen holder for at kunne reducere til det. Det kan vi jo overlade til dig, hvis du har mod på det ;)

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Øvelsen herover viser måske hvorfor de polære koordinater til tider er væsentligt overlegne. :)

Skriv et svar til: Opstilling af integral ud fra uligheder

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.