Bevis at sekskanten er regulær

Regularitet kræver nok også at vinklerne er ens.

Radierne danner ligebenede trekanter, hvor centervinklen er 60 grader.

Så er vinklerne på cirklen jo også 60 grader; og to af dem tilsammen 120 grader. Hele vejen rundt.

Men vil de ikke også altid være det, men den fremgangsmåde for konstruktionen? 

#0 Regulær figur betyder at alle sider er ens og alle vinkler er ens.

Det kan også defineres som: "alle sider er ens og figuren kan índskrives i en cirkel".

Vælger du den sidste definition er det let nok: at alle sider er ens følger af at de er afsat med en passer med konstant radius. At den er indskrevet i cirkel fremgår af, at punkterne afsættes på en cirkelperiferi.

Definitionen på at polygonen er regulær er at alle sider er lige lange og alle vinkler ens. Den i #3 angivne alternative definition kan ikke bruges, da det netop er det, der skal bevises.

De fem sider AB, BC, CD, DE og EF er lige lange på grund af at de er afsat som r. Det skal vises, at FA har samme længde.

Kaldes cirklens centrum for O har vi, at trekant ABO har lige lange sider, så den er ligesidet. Dens vinkler er derfor 60 grader. Det samme gælder for BCO, CDO, DEO og EFO. Inde ved centrum er der således 5 vinkler, der alle er 60 grader, ialt 300 grader. Da der er 360 grader for hele vejen rundt, er der 60 grader tilbage til vinkel FOA. Da de to hosliggende sider begge har længden r, er trekanten ligesidet, så den sidste side, FA, har længden r.

Vinklerne i sekskanden består hver af to vinkler fra to nabotrekanter (vinkel FAB  = FAO + OAB). Da trekanternse vinkler er ens, følger, at sekskantens vinkler er ens.

Tusind tak for svar! 

#0. Alle sider afsættes med lige stor afstand på cirkelperiferi, dermed er alle sider lige store. Alle vinkler er periferivinkler, der spænder over samme cirkelbue, da de har lige lange ben, dermed er alle vinkler ens. QED.

#6

Det er kun de fem sider, der afsættes på samme måde. Den sidste er det, der er tilbage, så det skal bevises, at den har samme længde som de andre (se #4).