Topologi hjælp med en opgave

Selve spørgsmålet mangler?

#1

Selve spørgsmålet mangler?

Hej jeg har en opgave jeg simpelhen ikke kan løse håber der er en der kan hjælpe!

Lad (X,d) være et metrisk rum og x in X et element i X. Vis at 

{ y \in X | d(y,x) > r } er åben for alle r \in R (realle tal)

Sådan håber det giver mere mening. beklager

Jeg kan starte med at give et hint: Lad der være givet et metrisk rum . Et sæt  er åbent hvis der til ethvert punkt kan indlægges en åben kugle med centrum i og radius således at . Til denne opgave ville et smart valg være , hvor er vilkårligt og er et andet vilkårligt punkt hvorom der gælder at .

Tusind tak for dit svar Vandal. Men det er ligepræsis der jeg sidder fast ! for y₀ ligger vel i komplementat mængden altså uden for S. Men jeg har ingen anelse om hvordan jeg skal betegne Komplementarmængden udover S^C. Vil gerne have den matematiske form... Eller er jeg helt galt på den?

Eller r skal vel bare være mindre end x₀-y₀? så er den vel hjemme

Hvis så er fordi vi kræver at , som jo er kravet for at være et element i . Jeg ville angribe opgaven på den måde jeg har foreslået, men alternativt kunne det også gøres ved at vise at komplementærmængden er lukket hvis du finder det nemmere.

Årrrh jamen jeg forstår ikke helt hvad der mangler for at løse opgaven? For kan godt følge din tankegang og det gav meget mere mening. Men jeg kan ikke se andet en det må gælde for alle y in S eksitere der   [\delta] >0 så  [B_{\delta}(x) \subseteq S] . Jeg kan virkelig ikke se hvad der mangler for at løse opgaven mere? Den er vel løst så med din forklaring? jeg vil vel bare betegne at r skal være mindre end den numeriske difference mellem x_0 og y_0

Det er ikke nok i matematik at sige at "der må gælde."

Vi er givet et metrisk rum , et punkt og en radius . Definér .Så skal der for at løse opgaven med min fremgangsmåde vises at:

1) Der eksisterer et  således at .

2) For et vilkårligt punkt skal det vises at , det vil sige at ved hjælp af trekantsuligheden skal det vises at for et vilkårligt gælder der at

Jeg tror virkelig jeg har kigget på den her opgave for længe så jeg er blevet blind... Jeg tror næsten hvis du kan løse den, må du meget gerne det, så kan jeg nok bedre forstå hvordan det skal gøres, for lige nu sidder jeg på den 13 time med den her opgave og jeg forstår simpelthen ikke metoden selvom jeg læser bogen igennem 100 gange. Det ville være pisse fedt hvis du gav, så kan jeg sove trygt inat og kigge på forståelsen af metoden imorgen og forhåbelig selv løse den slags opgaver fremover!

Helt i orden. Jeg skriver et svar med mit løsningsforslag, og bagefter et svar med uddybende forklaring og motivering.

Vi er givet et metrisk rum , et punkt og et tal . Definér . Vi skal vise at er en åben mængde. Dette er per definition tilfældet hvis vi for ethvert vilkårligt punkt kan indlægge en åben kugle således at .

Vælg derfor ; dette tal er veldefineret idet der per antagelse gælder at , så intervallet er ikke-tomt.

Lad være et vilkårligt punkt i den åbne kugle med centrum i og radius . Et sådan punkt findes da opfylder betingelserne.

Da er en metrik opfylder den trekantsuligheden og er symmetrisk i de to indgange, og derfor har vi at

Per vores valg af gælder der at , hvilket medfører at . Dermed har vi vist at , og da var vilkårligt valgt i har vi dermed vist at som ønsket. Q.E.D.

Jeg kan godt forstå at det med topologi er svært. Jeg havde også problemer med det i starten - ofte følte jeg at der skulle et "hokus-pokus" trick til for at få det til at gå op, men det kommer med erfaring.

Med en opgave som denne vælger jeg den tilgang jeg har benyttet ovenfor fordi jeg af erfaring ved at det ofte kan løses ved at benytte trekantsuligheden på den rigtige måde. For at kunne vise det vi vil skal vi have fat i de tre punkter , hvilket giver anledning til de tre afstande . Den første er givet i opgaven, den anden er den vi ønsker at vise er større end og dermed vise at , og den tredje kan vi kontrollere med vores valg af .

Vi skal nu bruge trekantsuligheden til at manipulere de tre afstande til et udtryk der fortæller os noget om den ønskede længde . Vi kan benytte trekantsuligheden på hver af de tre afstande, men to af de tre giver os ikke noget brugbart. Den vi kan bruge til noget er , hvor vi indskyder punktet og får , hvori vi isolerer . Nu gælder det om at vælge rigtigt så vi kommer frem til den ønskede ulighed .

Dette er rigtigt hvis vi opfylder at , som vi kan sikre ved lidt manipulation:

Da der per definition gælder at kan vi opfylde dette ved at benytte det strengere krav . Herefter er det bare et spørgsmål om at vise at dette valg er veldefineret og indsætte dette i de gamle udtryk for at vise at opgaven er løst.

Håber det giver mening =)

Hmm, hvad nu hvis r var lig med 0?

Vi har ikke benyttet udregninger der kræver at er et positivt tal, så kan være nul (eller negativ) uden problemer. Hvis er negativ opfylder hele kravet til at være i , hvilket ikke er et problem da hele "universet" i et metrisk rum per definition er både åbent og lukket. Hvordan skal forstås når afhænger af metrikken.

Vent lidt, det er faktisk ikke helt sandt. Per definition på en metrik gælder der at hvis er , så ville i dette tilfælde være , og da er et enkelt punkt er det et lukket sæt, og derfor er åbent.