Matematik

Geometrisk række, hvordan løser jeg den?

20. februar 2016 af Dudi22 (Slettet) - Niveau: A-niveau

$\sum_{i=1}^{n}a^{2i} = 1$

Hvorledes er fremgangsmåden for at løse denne geometriske række? Jeg går død i den :(

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. februar 2016 af Soeffi

#0. Skal du finde a eller n...?

Svar #2
20. februar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Ah ja, jeg skal løse i forhold til a. Mine bud er, at, når summen er lig 1, så er a^(2i) konvergent. Jeg kunne løse den for a^i = 1, men er meget i tvivl om, hvordan jeg får 2-tallet væk.

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. februar 2016 af Soeffi

#2 Ah ja, jeg skal løse i forhold til a.

Hvad med n? Skal der ikke stå "∞"?

Svar #4
20. februar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Nej bare n, det er en sandsynlighedsfunktion

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. februar 2016 af SuneChr

Man har

$\sum_{i=1}^{n}a^{i}=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}-1$
Udskift a med a²

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. februar 2016 af Soeffi

#0 Prøv:...
$\sum_{i=1}^{n}a^{2i} = 1\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}(a^{2})^i = 1$

Svar #7
21. februar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Hej Sune, hvorfor har man det? :)

Soeffi, jeg kan ikke helt se, hvordan jeg kommer videre?

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. februar 2016 af SuneChr

# 5 er sumformlen for en kvotientrække. Man tilpasse den så man starter med a¹ og slutter med aⁿ.
Ved at benytte $\left ( a^{2} \right )^{i}=a^{2i}$ og indsætte a² i stedet for a på højre side # 5 fås summen efter formlen.

Svar #9
21. februar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Er det korrekt, at svaret er:

$\frac{a^{^{2n+2}}-1}{a^{2}-1}-1$

Svar #10
21. februar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Jeg forstår bare ikke, hvordan jeg så herfra bestemmer a

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. februar 2016 af Soeffi

$\frac{a^{^{2n+2}}-1}{a^{2}-1}-1=1\Rightarrow a^{^{2n+2}}-2(a^{2}-1)-1=0\Rightarrow a^{^{2n+2}}-2a^{2}+1=0$

Hvis vi antager, at 0 < a < 1 og n er stor, kan vi sætte a²ⁿ⁺² ≈ 0 og får tilnærmelsesvis: -2a² + 1 = 0 => a² = 1/2 => a = 1/√2.

Svar #12
21. februar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Vi kan rigtigt nok antage at a>0, men der står jo intet i opgaven om, at den er under 1, hvorfor løsningen ikke kan bruges :/

Svar #13
21. februar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Der står heller ikke noget om, at "n er stor"

Brugbart svar (0)

Svar #14
21. februar 2016 af SuneChr

Lad n løbe fra 1 og fremefter og notér, hvad a er, således at ligningen tilfredsstilles.
Noget tyder på, at a → 0,70... for n → > 7 (større end 7)

Det ville have været hensigtsmæssigt, om du holdt dig til samme tråd.

Brugbart svar (0)

Svar #15
21. februar 2016 af SuneChr

a er afhængig af, hvor mange elementer udfaldsrummet indeholder.
Lad os sige, at i ∈ U = {1, 2, 3} og P(i) = a²ⁱ
Der gælder da
a² + a⁴ + a⁶ = 1
Ved ligningsløsning fås
a = 0,737352...
Med endnu flere elementer i U vil a nærme sig mere og mere $\frac{\sqrt{2}}{2}=0,7071...$

Skriv et svar til: Geometrisk række, hvordan løser jeg den?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.