Matematik

Differentiabilitet i flere variable, funktionalmatriceren og den generaliserede kæderegel

12. marts 2016 af SuperManBat - Niveau: Universitet/Videregående

Betragt funktionerne

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ $g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ $h: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$

$f(x)=(x\cdot sin(x),e^x)$ g(x,y)=(xy^2) h(x,y)=(y-x^2,y^2)

a) Redegør for at f,g, og h er overalt differentiable

b) Bestem funktional matricerne $D f(x_0), D g(x_0,y_0) \ og \ D h(x_0,y_0))$

c) Bestem funktionalmatricerne for de sammensatte afbildninger $f \circ g, g \circ f, h \circ f\ og \ g \circ h.$

Sammenhold resultaterne med dem fra delopgave (b) ved hjælp af den generaliserede kæderegel

I a) Er det nok at finde de partiel afledte og sige af de består af sammensatte kontinuerte funktioner

I b) har jeg

$D f(x_0)\begin{pmatrix} sin(x_0)+x_0cos(x_0)\\ e^{x_{0}} \end{pmatrix}$ $D g(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} y_{0}^2, & 2x_0y_{0}\\ \end{pmatrix}$ $D h (x_0,y_0)=\begin{pmatrix} -2x_0, & 1\\ 0 & 2y_0 \end{pmatrix}$

Er det rigtigt?

Nogen der kan fortælle mig om jeg har lavet delspørgsmål a og b rigtigt samt hjælpe med delspårgsmål c

tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. marts 2016 af peter lind

a) f(x) er en vektorfunktion i en variabel, hvorfor partielle afledede er meningsløs. Den er differentiabel hvis både x og y komponenten er differentiabel. ellers ja

b) ja

c) Du skal finde de sammensatte funktioner og dernæst finde deres funktionalmatricer på samme måde som i spørgsmål b. Dernæst skal du bruge resultatet af b samt kædereglen til at finde funktionalmatricerne. Dette skulle så gerne give det samme som den mere direkte beregning

Svar #2
12. marts 2016 af SuperManBat

Hvordan finder jeg de sammensatte funktioner $f \circ g, g \circ f, h \circ f\ og \ g \circ h.$

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. marts 2016 af peter lind

(f_ºg)(x) = f(g(x)) Du skal altså erstatte x'et i funktionsudtrykket for f(x) med g(x) altså (g(x)*sin(g(x), e^g(x) ) = (x*y²*sin(x*y², e^{x*y^2})

Svar #4
12. marts 2016 af SuperManBat

$g \circ f = (x \cdot sin(x),e^x ) *y^2$

er det her rigtigt, har lidt svært med sammensatte funktioner i flere variable

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. marts 2016 af peter lind

Nej. Du skal i g (x,y) erstatte x med x delen af f(x) d.v.s x*sin(x) og y med y delen af f(x) d.v.s. e^x. Det giver x*sin(x)*(e^x)² = x*sin(x)*e^2x

Svar #6
12. marts 2016 af SuperManBat

så $h \circ f$ = $(y-(x\cdot sin(x))^2,e^{2x})$

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. marts 2016 af peter lind

nej. Du skal erstatte y med e^x

Svar #8
12. marts 2016 af SuperManBat

så $h \circ g= y-x^2*e^{2y^2}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. marts 2016 af peter lind

h_ºg eksisterer ikke og der spørges ikke efter den

Svar #10
12. marts 2016 af SuperManBat

jeg mente $g \circ h$ = $y-x^2 \cdot e^{2y^2}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
12. marts 2016 af peter lind

Der indgår ingen eksponentialfunktion i hverken h eller g, så det kan der heller ikke komme i dette tilfælde.

Du skal erstatte x'et i g(x,y) med førstekoordinaten h og y med 2. koordianten i h

Brugbart svar (0)

Svar #12
13. marts 2016 af peter lind

Det vil nok være nemmere for dig hvis du skifter variabelnavne. Hvis du i definitionen for g(x,y) skifter navnene så x =u og y = v har du g(u,v) = u*v². resultatet af funktionen h kalder du (u, v) altså (u,v) = h(x,y) = (y-x², y²) altså u = y-x², v = y² . Så kan du direkte sætte ind

Skriv et svar til: Differentiabilitet i flere variable, funktionalmatriceren og den generaliserede kæderegel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.