Matematik

Vis at (komplekst) række konvergerer

13. marts 2016 af YesMe (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan beviser man, om rækken

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+z)}$

konvergerer, for alle z∈C\{-1,-2,-3, ...} ?

Jeg forsøgte at benytte Weierstrass M-test, således at jeg kan finde en række jeg kan sammenligne med. Men jeg er ikke i stand til at finde en fin begrænsning.

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. marts 2016 af Therk

Hvis du ikke skal bevise hvad rækken konvergerer imod, så observer at der eksisterer et ε>0 så

$\lvert k(k+z) \rvert = k^2\left\lvert 1 + \frac zk \right\rvert {}>{} k^2 \lvert1-\varepsilon\rvert$

for alle k > k₀ (eventuelt for stort nok k). Split nu din sum op:

$\sum_{k = 1}^\infty \frac 1{k(k+z)} < \sum_{k= 1}^{k_0} \frac 1{k(k+z)} + \sum_{k = k_0+1}^\infty \frac 1{k^2}(1-\varepsilon)$

Første sum på højre side er en endelig sum. Anden sum er en konvergerende geometrisk række.

Svar #2
27. april 2016 af YesMe (Slettet)

Mente du ikke (1 - ε) i stedet for |1 - ε| på den anden linje? Da 1 + z/k → 1 for k → ∞, så vil der for alle ε>0, findes et k₀ ≥ 1, således at | z/k | < ε, for alle k ≥ k₀.

Jeg kan kun se, at |z/k| ≤ |1 + z/k| + 1. Men jeg ikke se hvordan du er kommet frem til at sige |1 + z/k| > |1 - ε|. Kan du venligst forklare mig det?

Skriv et svar til: Vis at (komplekst) række konvergerer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.