Matematik

Differential ligning Hjælp

16. marts 2016 af tikta (Slettet) - Niveau: A-niveau

En metalklods med temperaturen 800K placeres til afkøling i et stort rum med temperaturen T0=300K . Temperaturen som funktion af tiden,T(t) , opfylder differentialligningen: dT/dt=-k*(T-T0) hvor konstanten i dette tilfælde er k=0.031 med enheden s^-1

. a) Løs differentialligningen (mellemregninger angives

b) Tegn løsningskurven

. c) Beregn det tidspunkt hvor klodsens temperatur er faldet til .

Nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. marts 2016 af mathon

Brug "panserformlen":

$T{\, }'+k\cdot T=k\cdot T_0$

$T(t)=e^{-kT}\cdot \int k\cdot T_0\cdot e^{kT}\textup{dt}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. marts 2016 af mathon

tastekorrektion:
$T(t)=e^{-kt}\cdot \int k\cdot T_0\cdot e^{kt}\textup{dt}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. marts 2016 af mathon

Løsning:

$T(t)=e^{-kt}\cdot \int k\cdot T_0\cdot e^{kt}\textup{dt}$

$T(t)=e^{-kt}\cdotT_0\cdot k\cdot \int e^{kt}\textup{dt}$

$T(t)=e^{-kt}\cdot T_0\cdot k\cdot \left ( \frac{1}{k}\cdot e^{kt}+C_1 \right )$

$T(t)=T_0\cdot e^{-kt}\cdot \left ( C_2+e^{kt} \right )$

$T(t)=T_0\cdot \left ( C_2e^{-kt}+1 \right )$

$T(t)= Ce^{-kt}+T_0$

løsningskontrol:
$\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}=-k\cdot C\cdot e^{-kt}$

$\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}=-k\cdot (T-T_0)$

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. marts 2016 af mathon

specifikt:
   $\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}=-0{,}031\cdot (T-T_0)$
har løsningen:
   $T(t)=Ce^{-0{,}031\cdot t}+300$
   og
   $T(0)=800=C\cdot 1+300$

   C=500
   så
      $T(t)=500\cdot e^{-0{,}031\cdot t}+300$

Skriv et svar til: Differential ligning Hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.