Matematik

Eksponentielle udviklinger på tre lige gode måder

03. april 2016 af ZoopV8 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hey!
Kan nogen fortælle/redegøre for mig, at eksponentielle udviklinger kan formuleres på tre lige gode måder:

Hvad er sammenhængen mellem dem og hvordan kommer man fra den ene til den anden? Er der et bevis for det?

På forhånd tak.

Vh
Zoop

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. april 2016 af peter lind

se http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/exp.html

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. april 2016 af mathon

For
   $y=b\cdot e^{kx}$
haves
   $y=b\cdot \left (e^{k} \right )^x=b\cdot a^{^{x}}$
og
   $\frac{1}{2}=e^{k\cdot X_{\frac{1}{2}}}$

$\left (\frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{_{X_{\frac{1}{2}}}}}=e^k$

hvoraf
$y=b\cdot\left ( e^{k} \right )^x=b\cdot \left (\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{X_{\frac{1}{2}}}} \right )^x=b\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{x}{X_{\frac{1}{2}}}}$

Svar #3
03. april 2016 af ZoopV8 (Slettet)

#2
For
   $y=b\cdot e^{kx}$
haves
   $y=b\cdot \left (e^{k} \right )^x=b\cdot a^{^{x}}$
og
   $\frac{1}{2}=e^{k\cdot X_{\frac{1}{2}}}$

    $\left (\frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{_{X_{\frac{1}{2}}}}}=e^k$

hvoraf
     $y=b\cdot\left ( e^{k} \right )^x=b\cdot \left (\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{X_{\frac{1}{2}}}} \right )^x=b\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{x}{X_{\frac{1}{2}}}}$

Kan du uddybe det, Mathon?

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. april 2016 af mathon

$\left ( a^b \right )^c=a^{b\cdot c}=a^{c\cdot b}=\left ( a^c \right )^b$ læst begge veje

samt
$a=b^{c\cdot d}$
$\Updownarrow$
$a^{\frac{1}{d}}=b^c$

Svar #5
03. april 2016 af ZoopV8 (Slettet)

Jeg har bare svært ved at sætte ord på den anden af de tre eksponentielle udviklinger.

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. april 2016 af mathon

$y=b\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{x}{X_\frac{1}{2}}}$

$y=b\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{antal\; halveringstider}$

Svar #7
03. april 2016 af ZoopV8 (Slettet)

#2
$\frac{1}{2}=e^{k\cdot X_{\frac{1}{2}}}$

Hvordan kom du frem til det, fra y=b*e^(kx)? Og hvor skriver min lærer e^(-kx) når du skriver e^(kx)?

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. april 2016 af mathon

Når k>0

For
   $y=b\cdot e^{-kx}$
haves
   $y=b\cdot \left (e^{-k} \right )^x=b\cdot a^{^{x}}\; \; \; \; \; \; 0<a<1$
og
   $\frac{1}{2}=e^{-k\cdot X_{\frac{1}{2}}}$

$\left (\frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{_{X_{\frac{1}{2}}}}}=e^{-k}$

hvoraf
$y=b\cdot\left ( e^{-k} \right )^x=b\cdot \left (\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{X_{\frac{1}{2}}}} \right )^x=b\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{x}{X_{\frac{1}{2}}}}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. april 2016 af mathon

$\frac{1}{2}b=b\cdot e^{-k\cdot X_{\frac{1}{2}}}$

$\frac{1}{2}= e^{-k\cdot X_{\frac{1}{2}}}$

Svar #10
08. april 2016 af ZoopV8 (Slettet)

Hvordan kommer man fra y=b*a^x til y=b*(1/2)^x/x½?
Altså hvilke matematiske (regne-)regler bruges der. Kan du uddybe det skridt for skridt med biimplikationer (<=>)?

Brugbart svar (0)

Svar #11
08. april 2016 af peter lind

y =b(½)^x/x½ = b (½)^1/x½)^x = b*a^x

Svar #12
09. april 2016 af ZoopV8 (Slettet)

Jeg kan ikke se hvordan du kommer fra b((1/2)^1/x½)^x=b*a^x

Brugbart svar (0)

Svar #13
09. april 2016 af mathon

$\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{X_{\frac{1}{2}}}}=a$

Svar #14
10. april 2016 af ZoopV8 (Slettet)

Jeg kan godt se, at (1/2)^1/x½ skal stå på a's plads, men hvorfor? Kan det bevises?

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. april 2016 af mathon

genlæs #2.

Svar #16
13. april 2016 af ZoopV8 (Slettet)

Hvorfor har du:

#2
For
   $y=b\cdot e^{kx}$
haves
   $y=b\cdot \left (e^{k} \right )^x=b\cdot a^{^{x}}$
og
   $\frac{1}{2}=e^{k\cdot X_{\frac{1}{2}}}$

    $\left (\frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{_{X_{\frac{1}{2}}}}}=e^k$

Altså, hvordan kommer du fra y=b*e^k*x til 1/2=e^k*x½?

Brugbart svar (0)

Svar #17
13. april 2016 af mathon

Man har:

$f(x+X_{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}f(x)$

$b\cdot e^{k\left(x+X_{\frac{1}{2}}\right)}=\frac{1}{2}f(x)$

$b\cdot e^{kx}\cdot e^{kX_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}f(x)$

$f(x)\cdot e^{kX_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}f(x)$

$e^{kX_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}$

$\left (e^{kX_{\frac{1}{2}}} \right )^{\frac{1}{X_{\frac{1}{2}}}}=\left (\frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{X_{\frac{1}{2}}}}$

$e^{kX_{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{X_{\frac{1}{2}}}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{X_{\frac{1}{2}}}}$

$e^k=\left ( \frac{1}{2} \right )^{{\frac{1}{X_{\frac{1}{2}}}}}$

Svar #18
14. april 2016 af ZoopV8 (Slettet)

Tusind tak for hjælpen. Hvordan kan man linke eksponentiel udvikling med celler, celledeling eller andet lign.?

Skriv et svar til: Eksponentielle udviklinger på tre lige gode måder

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.