Matemaik b eksamens-besvarelse

Hvis du viser dine besvarelser, kan vi i stedet hjælpe dig med at tjekke om de er korrekte og/eller hjælpe med at rette evt. fejl!

Opgave 1

Løs 2(3x-1)=4x+8

2*3x+2*-1=4x+8

6x-2=4x+8

6x-2+2=4x+8+2

6x=4x+10

6x-4x=4x+10-4x

2x=10

2x/2=10/2

x=5

Opgave 2

I en model kan sammenhængen mellem højde og alder for drenge i alderen 5 år til 17 år beskrives ved y=5,5x+110
hvor y er højden målt i cm, og x er alderen målt i år efter det femte år.

Betydning af tallene 5,5 og 110!

En dreng på 5 år er 110 cm høj

Drengene vokser med 5,5 cm om året i alderen 5 til 17 år

Opgave 3

Løs andengradsligningen x²+x-12=0

Finder diskriminaten

d=b²-4*a*c

d=1²-4*1*-12

d=1+48=49

Da d er positiv, så har andengradsligningen to løsninger

x=(-b+-√d)/2a

x=(-1+-√49)/(2*1)

x=(-1+-7)/2

x=-4 V x=3

x=-4 og x=3 er løsningerne til andengradsligningen x²+x-12=0

Opgave 4

En funktion f er givet ved f(x)= x³ +4x² −2x−1.
Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2, f (2)) .

f(2)=2³+4*2²-2*2-1=8+16-4-1=19

f'(x)=3*x^3-1+2*4*x^2-1-2

f'(x)=3x²+8x-2

f'(2)=3*2²+8*2-2=3*4+16-2=12+16-2=26

y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0)

y=f'(2)*(x-2)+f(2)

y=26*(x-2)+19

y=26*x+26*-2+19

y=26x-52+19

y=26x-33

Opgave 5

h(x)=x²+1 svarer til grafen for B, da grafen for B er en parabel 

f(x)=2^x svarer til grafen for C, da C er grafen for en voksende eksponentialfunktion

g(x)=2^-x svarer til grafen for A, da A er grafen for en aftagende eksponentialfunktion

Opgave 6

En funktion f er bestemt ved f (x)=5x⁴ +e^x
Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(0,10)

F(x)=1/5*5*x⁴⁺¹+e^x+k

F(x)=x⁵+e^x+k

Indsætter punktet P(0,10). F(x)=10 og x=0

10=0⁵+e⁰+k           e⁰=1

10=0+1+k

10=1+k

10-1=1+k-1

k=9

F(x)=x⁵+e^x+9 er en stamfunktion til f(x)=5x⁴+e^x og går gennem punktet (0,10)

Opgave 10

En funktion f er bestemt ved f(x)=x⁴+8x³+18x²+16x+5

a) Løs ligningen f(x)=0

x⁴+8x³+18x²+16x+5=0

Løst ved hjælp af wordmat til x=-5 og x=-1

Skærer x-aksen i punkterne (-5,0) og (-1,0)

b)

Bestem f'(x) og bestem monotoniforholdene for f'(x)

f'(x)=4*x^4-1+3*8*x^3-1+2*18*x^2-1+16

f'(x)=4x³+24x²+36x+16

For at finde monotoniforholdene løses f'(x)=0

4x³+24x²+36x+16=0

Som wordmat løser til x=-4 og x=-1

x        -5          -4          -2            -1              0

f'(x)     -            0           -              0              +

f'(x) er aftagende i intervallet ]-∞;-1] og f'(x) er voksende i intervallet [-1;∞[

x=-4 er en vandret vendetangent og x=-1 er globalt minimum for funktionen

Opgave 9

f(x)=b*x^a opfylder, at f(2)=3 og f(4)=7

Bestem en forskrift!

3=b*2^a

7=b*4^a

7/3=(b*4^a)/(b*2^a)

7/3=4^a/2^a

7/3=(4/2)^a  

7/3=2^a           

log(7/3)=a*log(2)

a=log(7/3)/log(2)=1,2224

7=b*4^1,2224

b=7/4^1,2224=1,2857

f(x)=1,2857*x^1,2224 

Opgave 11

To funktioner f og g er bestemt ved f(x)=√x og g(x)=0,5x

a)

Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem graferne for f og g.

Skærringspunkterne findes ved f(x)=g(x)

√x=0,5x

Løst vha. wordmat til x=0 og x=4

x-koordinaterne til skærringspunkterne er henholdsvis 0 og 4

√0=0 og √4=2

y-koordinaterne til skærringspunkterne er henholdsvis 0 og 2

Graferne f(x)=√x og g(x)=0,5x skærer hinanden i punkterne (0,0) og (4,2)

b)

Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

Bestem arealet af M!

Øvre grænse i x=4 og nedre grænse i x=0

∫⁴₀(√x-0,5x)dx=4/3

Opgave 7

a)

Eksponentiel regression

f(x)=1,4050*1,095^x

a=1,095 og b=1,4050

b)

Bestem fordoblingstiden

T₂=log(2)/log(a)

T₂=log(2)/log(1,095)=7,64

Fordoblingskonstanten fortæller, at de årlige udgifter til lobbyarbejde i den amerikanske kongres fordobles efter 7,64 år

c)

Den faktiske årlige udgift var 2,61 mia dollar i 2010. Hvor mange procent er modellens værdi større end den faktiske årlige udgift?

x=2010-1999=11

f(11)=1,4050*1,095¹¹=3,81

Ifølge modellen var den årlige udgift til lobbyarbejde i den amerikanske kongres 3,81 milliarder dollars i 2010

(3,81-2,61)/2,61*100%≈46%

Udgifterne til lobbyarbejde i den amerikanske kongres i 2010 er ca. 46% højere end det faktiske tal

Opgave 8

I trekant ABC er <B=113*, lABl=6,19 og lBCl=10,30

a) Bestem lACl og <A!

Trekant ABC er vilkårlig 

cosinusrelationerne anvendes til at finde siden lACl 

lACl²=lABl²+lBCl²-2*lABl*lBCl*cos(B)

lACl²=6,19²+10,30²-2*6,19*10,30*cos(113)

lACl²=194,2298

√lACl²=√194,2298

lACl=13,94

lACl er 13,94

Cos(A)=(lACl²+lABl²-lBCl²)/(2*lACl*lABl

Cos(A)=(13,94²+6,19²-10,30²)/(2*13,94*6,19)=0,7333

<A=cos^-1(0,7333)=42,8*

Vinkel A er 42,8 grader

b)

Bestem lAEl så arealet af trekant ABE er 5

T_ABE=1/2*lABl*lAEl*sin(A)

Vi får at vide, at arealet af trekant ABE er 5 og vi ved på forhånd, at lABl=6,19

5=1/2*6,19*lAEl*sin(42,8)

lAEl=5/(1,2*6,19*sin(42,8)=2,38

lAEl er 2,38

4x−7=2x+3

#0. Se evt: http://studie.one/mat/stx/sb/1112/mat-b-stx-2012-05-25/index.html