Matematik

Redegør for at y=ba^x er løsning til differentialligningen y'=ky .

10. maj 2016 af jessie96 - Niveau: A-niveau

Jeg har i et eksamensspørgsmål fået til opgave, at redegøre for at y=b*a^x er løsning til differentialligningen y'=k*y.

Jeg har valgt at gøre det på følgende måde (se vedhæftede fil)

Mit spørgsmål er så... Er e^kx det samme som a -Hvis ja, hvordan forklarer jeg det så?

Håber at der er en venlig sjæl som kan hjælpe mig :)

Vedhæftet fil: Vi har differentialligningen.docx

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. maj 2016 af peter lind

Jeg kan kun delvis læse din fil. e^kx = (e^k)^x = a^x med e^k = a

Svar #2
10. maj 2016 af jessie96

Jeg har lige lave filen om til pdf, måske det hjælper.

Hvorfor er det at e^kx=(e^k)^x og hvordan kan det være at (e^k)^x=a^x?

Vedhæftet fil:Vi har differentialligningen.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. maj 2016 af mathon

Da
$y=C\cdot e^{kx}=C\cdot \left (\mathbf{\color{Red} e^{k}} \right )^x=C\cdot \mathbf{\color{Red} a}^{x}$ som vejledt i #1.

D vælger selv, hvilken af formlerne

$y=Ce^{kx}$

$y=Ca^{x}$ du vil anvende.

Svar #4
10. maj 2016 af jessie96

Er det en slags regneregel som siger at e^k=a?

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. maj 2016 af mathon

For en konstant vil du altid kunne beregne

e^k som en ny konstant.

Hvillken bogstavbetegnelse, du vil give den, bestemmer du selv.

I forbindelse med eksponentielle funtioner
benyttes sædvanligvis
e^k=a

Svar #6
10. maj 2016 af jessie96

okay, nu er jeg med tror jeg...

e^k er en konstant og den konstant vælger vi så at kalde for a?

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. maj 2016 af peter lind

Det var bedre. Du har midt på siden e^ln(y) = e^kx+C højre side skal være e^kx+C

Der findes en almindelig potensregel som du sikker kender som (bⁿ)^m = b^n*m, Den bruger jeg her med b=e, n=k og m=x.

Jeg kalder blot e^k for a. Det er blot et navneskift, som passer til opgaven, a kan altså ikke være hvad som helst, hvis det er det, der generer dig

Svar #8
10. maj 2016 af jessie96

Ahhh nu forstår jeg!

Tusinde tak for hjælpen :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. maj 2016 af mathon

$y=Ce^{kx}$

$y=Ca^{x}$
hvor
$a=e^{k}$ og dermed $\ln(a)=k$
så

$\mathbf{\color{Red} y{\, }'}=C\cdot e^{kx}\cdot k=k\cdot\left ( C e^{kx} \right )=\mathbf{\color{Red} k\cdot y}$
og
$\mathbf{\color{Blue} y{\, }'}=C\cdot a^x\cdot \ln(a)=\ln(a)\cdot \left (C\cdot a^x \right )=\ln(a)\cdot y=\mathbf{\color{Blue} k\cdot y}$

Skriv et svar til: Redegør for at y=ba^x er løsning til differentialligningen y'=ky .

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.

Matematik

Redegør for at y=b*a^x er løsning til differentialligningen y'=k*y .

Skriv et svar til: Redegør for at y=b*a^x er løsning til differentialligningen y'=k*y .

Redegør for at y=ba^x er løsning til differentialligningen y'=ky .

Skriv et svar til: Redegør for at y=ba^x er løsning til differentialligningen y'=ky .