Hvor bliver x af?

Jeg forstår ikke dit spørgsmål, "Hvad med det faktoriserede x?"

Fra    x (ax + b) = 0    til    x ( ax + b - b) = 0 - b    er ikke rigtigt.

Hvorledes er det forkert, AskTheAfghan? Vil du ikke uddybe lidt?

Uh, jeg så ikke lige, at du havde skrevet noget nyt. Jeg prøver lige at se om jeg kan omformulere mig:
I min tekstbog står der, at jeg kan zoome ind på indholdet i parentesen. Deraf får jeg at:

ax + b = 0

ax + b - b = 0 -b

ax = -b

ax/a= -b/a

x= -b/a

Hvilket jo er det resultat som jeg skulle komme frem til. Men længere oppe, før vi overhovedet er kommet til parentesen, så har vi udregnet en ligning der starter fra:

ax² + bx + c = c

og "ender" på:

x (ax + b) = 0

^ dét x, som jeg har markeret med fed her, er den der volder mig problemer. Jeg kan ikke forstå hvad der er blevet af den. 

Uhm.. Jeg har lige set, at jeg har kludret lidt rundt i navne. Det er ikke eksponential funktioner, som mit spørgsmål omhandler, det er andengradspolynomiet   -_-' 

Så hvad er det helt præcist, dit spørgsmål handler om?

se eventuelt video nr. 11,12,13,14 på denne videoliste [ LINK ] først

#3 OK

Den er ikke forsvundet. Man har bare undgået at analysere det.

Lad f(x) = ax² + bx + c. Hvis f(x) = c, kan det omskrives til x (ax + b) = 0.

Der vil enten være x = 0 eller ax + b = 0, dvs. x = 0 eller x = -b/a. (Læs om nulreglen).

Kontrol: hvis x = 0, så er x (ax + b) = 0·(0 + b) = 0. Hvis x = -b/a, så er x (ax + b) = (-b/a)(-b + b) = 0.

Begge løsninger virker. Men du skriver "... beder mig om at fokusere på dét som står inde i parentesen ..", så skal du derfor forkaste x = 0. Det er det, "hvor" dette x blev af.

Ej, for fa'en.. det er jo ligefremt simpelt. Nåh, jamen så kan jeg komme videre med min læsning. Du skal have tusind tak for hjælpen! :D

Hej MySpunk,

Godt, at du har fundet ud, at hvis en funktion har forskriften f(x) = ax² + bx + c med a forskellig fra 0, så er der tale om et andengradspolynomium og ikke en eksponentialfunktion.

Selvom det uden tvivl ville være dårlig notation, så når jeg læser ordet funktion og f(x) = c, så tænker jeg på den konstante funktion der sender alt over i c, dvs funktionen hvis funktionsværdi er lig med c for alle x i de reelle tal.

Ud fra hvad du skriver, så er der snarere tale et helt konkret x med den egenskab at f(x) = c. Hvis man taler om et konkret/specifikt x så kan det nogle gange være en hjælp at sætte et fodtegn som f.eks. x₀.

Jeg tror det hele ville være meget mere overskueligt hvis du startede med at skrive hvad du ville vise og hvilket setup vi er i. 

F.eks. noget i stil med

Lad f være et andengradspolynoium. Hvis f(x₀) = c, så er x₀ = 0 eller x₀ = - b / a.

I dine konkrete udregninger, så forsvinder x ikke, du finder x(ax + b) = 0 og du ved, at et produkt er 0 hvis og kun hvis en af dets faktorer er 0. Dvs. hvis og kun hvis x = 0 eller ax + b = 0

Du skriver

x (ax + b) = 0

x ( ax + b - b) = 0 - b

x ( ax) = -b

x (ax/a) = -b/a

x (x) = -b/a

hvor det går galt i step 1, der gælder ikke at x (ax + b) = 0 hvis og kun hvis x (ax + b - b) = - b, der gælder derimod at x (ax + b) = 0 hvis og kun hvis x ( ax + b) - b = - b. Dvs. du må ikke flytte b ind i parentesen.

Uha, dig kunne jeg snakke meget længe med. Jeg har faktisk aldrig rigtigt forstået hvorfor man benytter x₀ istedet for blot x, før nu. Det har faktisk forårsaget mig lidt frustrationer. Jeg troede at det blot var ubetydelig navngivning således at man kunne finde rundt i sine x'er og y'er hvis man eksempelvis sad med to koordinatsæt. 

Jeg er virkelig glad for at du retter mig i forhold til -b. Jeg har, af eller anden årsag, troet at -b ikke vedkom det -b, som findes indenfor parentesen hvis ikke jeg satte det ind sammen med. Jeg troede, at stykke ville komme til at se således ud:

x - b (ax + b) = -b 

Hvis jeg opstillede det på samme måde som du. Jeg kan dog godt selv se at det ser helt skørt ud, hvilket så har gjort at jeg endte ved x (ax+b-b) = -b. 

Jeg har lige et spørgsmål til dig, eller til nogle andre som tilfældigvis kigger med:

Nu hvor jeg er kommet frem til at x = -b/a, så må det vel betyde at jeg kan sætte -b/a ind i parentesen? ikke?

Så det kommer til at se således ud:

x (-b/a) = 0

Eller gælder det for begge x'er?

Tak for et super fedt og detaljeret svar, Brusebad! 

#0 Toppunktet i et andengradspolynomium f(x) = ax² + bx + c er givet ved, at f '(x)=0, dvs. 2ax+b = 0 ⇔ x = -b/(2a). Dette indsættes i f(x) for at finde toppunktets y-værdi.

Men Soeffi? Er det den måde jeg skal bevise formlen på, når jeg skal fremlægge mit bevis til mundtlig eksamen?

Først vil jeg lige pointere, som du vist også er blevet gjort opmærksom på i #10, at det som du har skrevet har ikke noget med toppunktet for et andengradspolynomium at gøre.
Måden du skal bevise en specifik formel på handler om pensum, ofte er der flere beviser for samme udsagn, men beviserne gør nogle gange brug af forskellig teori. I det pågælende eksempel, toppunktet for et andengradspolynomium, så er det helt fint at benytte fremgangsmåden angivet i #10, hvis man har fået defineret differentiale kvotienter (dvs. ved hvad f ' (x) er for en fætter).

Det virker lidt som om, at der er nogle grundlæggende ting du har misforstået eller nogle begreber som ikke er helt klare. Jeg tror derfor, at hvis du vil have hjælp til et bevis, så er det nok nemmest hvis du skriver opgaven som du skal løse (eller bevise) op ordret.

Med hensyn til dit konkrete spørgsmål og i tillæg til vores snak om x og x₀. Så inden jeg svarer på det, vil jeg lige gøre et hurtigt forsøg på at formalisere funktionsbregrebet for dig.

Jeg forventer ikke, at du kender til mængdebegrebet, men hvis man har den naive tankegang, så er det ret simpelt. En mængde, lad os betegne den M, er en samling af ting, tingene i M kaldes mængdens elementer.
En funktion, som vi f.eks. kan betegne f, er så en relation (du kan evt. tænke på det som en maskine) som tager elementer fra en mængde, f.eks. M og giver dig et element i en anden mængde f.eks. N (ved maskinetankegangen, så putter man et element fra M ind i f og får et element fra N ud). 
Vi skriver f : M -> N.

Når du så har angivet hvad slags "ting" man kan putte i "maskinen", så skal du også angive hvordan maskinen "arbejder/ hvad den gør ved tingene", dvs. hvordan man kommer fra M over i N. Det gøres ofte ved en forskrift, som f.eks. for et generelt andengradspolynomium er f(x) = ax² + bx + c med a forskellig fra 0, her er x en variabel, og er altså en måde at fortælle hvad maskinen gør når du putter et helt konkret x ind i maskinen.

Man har en række "standard" mængder som feks.
De naturlige tal, vi skriver . Det er tallene 1, 2, 3, 4 osv.
De hele tal, vi skriver . Det er 0, -1, -2, -3 osv. og 1, 2, 3 osv.
De reelle tal, vi skriver . Tænk på tallinjen.

Når du angiver en forskrift f(x) = et eller andet, så ligger der ofte en stiltigende antagelse om, at det er en forskrift for en funktion f :  --> .

Hvis du skal løse en ligning, så kan vi igen tænke i termer af mængder. Du kan nemlig tænke på løsningerne til en ligning som en løsningsmængde, lad os kalde den for L.

Når du så får givet et udtryk som x ( ax + b ) = 0 og skal løse ligningen, så skal du finde en løsningsmængde for ligningen, det vil sige de x'er i  som giver anledning til at udsagnet er sandt.
når du laver dine < = > så omskriver du dit udtryk, men løsningsmængden forbliver den samme, og det er derfor du ender med noget brugbart. ( men det virker selvfølgelig kun hvis man overholder reglerne for brug af < = > )
Helt konkret, så finder du frem til at udtrykket x ( ax + b ) = 0 er sandt hvis x = 0 eller hvis x = - b / a,
så din løsningsmængde er L = {0, - b / a} (de krøllede parenteser er en måde at angive, at indholdet er mængdens elementer). Elementerne fra L har den egenskab at hvis du sætter dem ind i stedet for x, så bliver udsagnet sandt. Så for at svare på dit spørgsmål, så må du ikke sætte - b / a ind i parentesen, men du må sætte - b / a ind i stedet for x ELLER du må sætte 0 ind i stedet for x.

Til sidst vil jeg gerne lige understrege igen, at det du har skrevet i #0 ikke har noget at gøre med toppunktet for et andengradspolynomium!

#11     Du må bevise det på den måde du har lært. Hvis du er i tvivl om hvorfor der står x₀ i stedet for x, skal du blot forestille dig, at x er en variabel, mens x₀ er noget der er bestemt. Men det kommer selvfølgelig an på konteksten. Tænk ikke for meget over det.