Matematik

konvergent , kontinuerte og kontinuert differentiable funktioner i metrisk rum

05. juni 2016 af MieMatematik (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Lad $C^0=C^0([a,b],\mathbb{R})$ og $C^1=C^1([a,b],\mathbb{R})$ betegne mængderne af reelle funktioner på intervallet [a, b] som er henholdivis kontinuerte og kontinuert differentiable. Definer nu normene:

$\left \| f \right \|_u =sup_{x\in[a,b]} \left | f(x) \right |$ $\left \| f \right \| =\left \| f \right \|_u+\left \| f' \right \|_u$

Lad:

$f_n(x)=\sqrt{x-a+\frac{1}{n}} \qquad n \in \mathbb{N}$

a) Vis, at $f_n\in C^1$ for alle n og afgør om $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ er konvergent i M_0, M_1 og M_2.

b) Afgør om $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ er Cauchy i M_0, M_1 og M_2.

c) Afgør om M_0, M_1 og M_2 er fuldstændige.

d) Vis at $\left \| \cdot \right \|$ og $\left \| \cdot \right \|_u$ ikke er ækvivalente.

Nogen der kan hjælpe a) forstår ikke hvordan man skal vise at f_n $\in C^1$ skal f_n differentieres ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. juni 2016 af VandalS

Der skal to ting til at vise at $f_n \in C^1$ :

1. At funktionen er differentiabel i intervallet.

2. At dens afledede er kontinuert i intervallet.

Måske kan du nøjes med at henvise til forudgående viden for at vise differentiabilitet, men eftersom det er en opgave i funktionsrum vil jeg tro at du er nødt til selv at vise det ud fra de grundlæggende principper om differentiabilitet.

Svar #2
06. juni 2016 af MieMatematik (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. juni 2016 af VandalS

$\left \| f \right \|_u =sup_{x\in [a,b]}|f(x)|$ så

$\left \| f \right \| =sup_{x\in [a,b]}|f(x)| + sup_{x\in [a,b]}|f'(x)|$

Svar #4
07. juni 2016 af MieMatematik (Slettet)

Med hvordan skal jeg vise konvergens/ikke konvergens af f_n(x) i $\mathcal{M}_2$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. juni 2016 af VandalS

Undersøg om

$\left \| f_n \right \| \to \left \| f \right \|$ for $n \to \infty$

Svar #6
07. juni 2016 af MieMatematik (Slettet)

$\left \| \sqrt{x-a+\frac{1}{n}}\right \| \rightarrow \left \| \sqrt{x-a} \right \|$ for $n \rightarrow \infty$

sådan her

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. juni 2016 af VandalS

Jep, så du skal undersøge om

$\left \| \sqrt{x-a+\frac{1}{n}} \right \| = \left \| \sqrt{x-a+\frac{1}{n}} \right \|_u + \left \| \frac{1}{2\sqrt{x-a+\frac{1}{n}}} \right \|_u \to \left \| \sqrt{x-a} \right \| = \left \| \sqrt{x-a} \right \|_u + \left \| \frac{1}{2\sqrt{x-a}} \right \|_u$

for $n \to \infty$

Svar #8
07. juni 2016 af MieMatematik (Slettet)

jeg får det til

$\sqrt{x-a}+\frac{1}{2\cdot \sqrt{x-a}}$

Så f_n(x) har ingen konvergens i $\mathcal{M}_2$ da den ikke går imod 0 for $n \rightarrow \infty$

Skriv et svar til: konvergent , kontinuerte og kontinuert differentiable funktioner i metrisk rum

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.