Matematik

Vektorer og koordinater

30. august 2016 af Sarah45 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle, kan I hjælpe mig med at forklare disse opgaver, og hvad de går ud på, se vedhæftet fil!

Tak på forhånd!

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. august 2016 af mathon

$\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 6\\5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6-2\\5-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. august 2016 af mathon

b)
$\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 12\\-5 \end{pmatrix}=\overrightarrow{OC}-\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix} 12\\-5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix} 14\\-3 \end{pmatrix}$
C=(14,-3) da et punkt har samme koordinater som sin stedvektor.

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. august 2016 af mathon

c)
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix} 14\\-3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6\\5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14-6\\-3-5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\-8 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. august 2016 af mathon

d)
$\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$ $\left | \overrightarrow{v_1} \right |=\sqrt{4^2+3^2}=5$

$\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix} 12\\-5 \end{pmatrix}$ $\left | \overrightarrow{v_2} \right |=\sqrt{12^2+(-5)^2}=13$

               $\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 12\\-5 \end{pmatrix}=4\cdot 12+3\cdot (-5)=33$

   til beregning af vinklen mellem $\overrightarrow{v_1}$ og $\overrightarrow{v_2}$ :
               $\cos(v)=\frac{\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}}{\left | \overrightarrow{v_1} \right |\cdot \left | \overrightarrow{v_2} \right |}$

$v=\cos^{-1}\left (\frac{\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}}{\left | \overrightarrow{v_1} \right |\cdot \left | \overrightarrow{v_2} \right |} \right )$

               $v=\cos^{-1}\left (\frac{33}{5\cdot 13} \right )=59{,}49^\circ$

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. august 2016 af mathon

e)
$\Delta ABC's$ tyngdepunkt er medianernes skæringspunkt.

Brugbart svar (0)

Svar #6
30. august 2016 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #7
30. august 2016 af mathon

e)
A(2,2) B(6,5) C(14,-3)

Tyngdepunktet = massemidtpunktet

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! M=\left ( \frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3} \right )=\left ( \frac{2+6+14}{3},\frac{2+5+(-3)}{3} \right )=\left ( \frac{22}{3},\frac{4}{3} \right )=\left ( 7\tfrac{1}{3} ,1\tfrac{1}{3}\right )$

Brugbart svar (0)

Svar #8
30. august 2016 af mathon

f)
$\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$ danner vinklen $\varphi$ med x-aksen positive halvakse

$\varphi=\tan^{-1}\left ( \frac{3}{4} \right )=36{,}87^\circ$

Brugbart svar (0)

Svar #9
30. august 2016 af mathon

g)
$\left | \overrightarrow{BC} \right |=\sqrt{8^2+(-8)^2}=\sqrt{8^2\cdot 2}=8\sqrt{2}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. august 2016 af mathon

h)
$\overrightarrow{BC}_e=\frac{1}{\left | \overrightarrow{BC} \right |}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{8\sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix} 8\\-8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{-1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{-\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
30. august 2016 af mathon

i)
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix} 12\\-5 \end{pmatrix}$

Arealet af trekant ABC
er:
$T=\frac{1}{2}\cdot \begin{Vmatrix} 4 &12 \\ 3& -5 \end{Vmatrix}$ $T=\frac{1}{2}\cdot \begin{Vmatrix} 4 &12 \\ 3& -5 \end{Vmatrix}=\frac{1}{2}\cdot \left | 4\cdot (-5)-3\cdot 12 \right |=\frac{1}{2}\cdot \left | -56 \right |=28$

Brugbart svar (0)

Svar #12
30. august 2016 af mathon

j)
$\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$

$\widehat{\overrightarrow{v_1}}=\begin{pmatrix} -3\\4 \end{pmatrix}$

…

$\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix} 12\\-5 \end{pmatrix}$

$\widehat{\overrightarrow{v_2}}=\begin{pmatrix} 5\\12 \end{pmatrix}$

$\widehat{\widehat{\overrightarrow{v_2}}}=\widehat{\begin{pmatrix} 5\\12 \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} -12\\5 \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} 12\\-5 \end{pmatrix}=-\overrightarrow{v_2}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
30. august 2016 af mathon

k)
$\overrightarrow{v_1}$ vinkelret på $\overrightarrow{v_3}$
kræver:
$\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_3}=0$

$\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} t\\t-2 \end{pmatrix}=0$

$4\cdot t+3\cdot (t-2)=0$

7t=6

$t=\tfrac{6}{7}$

Skriv et svar til: Vektorer og koordinater

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.