Matematik

Afstand fra punkt til plan og akse (vektorer i rummet)

14. september 2016 af 321bj (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle sammen.

Jeg har en opgave, der lyder:

Du har givet et punkt P(4,2,3)

Du skal bestemme følgende afstand fra P til

1. xy-planet

2. yz-planet

3. xz-planet

4. x-aksen

5. y-aksen

6. z-aksen

Mit spørgsmål lyder så på, hvordan jeg skal bære mig ad. Hvordan beregner/finder jeg planerne og akserne. Jeg skal vel bruge formlen afstand fra punkt til plan, men jeg kan ikke lige se, hvordan jeg skal beregne det der skal indsættes i denne formel. Og hvordan skal jeg beregne afstanden til akserne ? Hvortil på akserne er det?

Håber I vil hjælpe mig/forklare mig, hvordan jeg skal bære mig ad med at løse denne opgave

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. september 2016 af mathon

1.
xy-planet har ligningen
z=0

hvorfor afstanden er

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. september 2016 af mathon

2.
yz-planet har ligningen
x=0

hvorfor afstanden er

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. september 2016 af mathon

3.
xz-planet har ligningen
y=0

hvorfor afstanden er

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. september 2016 af mathon

4.
Her skal du anvende punktafstandsformlen til en linje.

Svar #5
17. september 2016 af 321bj (Slettet)

men hvordan komer jeg frem til, hvilken ligning planerne har?

og hvordan definerer jeg linjerne?

Svar #6
17. september 2016 af 321bj (Slettet)

er det fordi jeg skal beregne planet ved at beregne planets ligning med a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀) ved at beergne planet ved at indsætte vektoren koordinater på a, b og c's plads samt på x, y og z's plads og så 0 på x₀, y₀ og z₀ plads og derefter bruge formlen fra afstand fra punkt til plan og beregne afstanden eller er jeg helt galt på den?

og linjerne... beregner jeg f.eks. x ved at definere den som (4, 0 , 0) som er lig med (x,y,z) ? er det de punkter jeg skal bruge i formlen)? også selvfølgelig indsætte y-koordinatet, når det er y-aksen og z-koordinatet, når det er z-aksen eller er jeg også helt galt på den her?

håber ikke det lyder for indviklet

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. september 2016 af mathon

Et punkt i xy-planen er f.eks. (3,4,0) .
En normalvektor til xy-planen er bl. a.
$\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{pmatrix}$

xy-planens ligning er derfor:

$\begin{pmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-3\\y-4 \\ z-0 \end{pmatrix}=0$

$0\cdot (x-3)+0\cdot (y-4)+1\cdot (z-0)=0$

z-0=0

z=0

Svar #8
17. september 2016 af 321bj (Slettet)

ok. men hvor kommer punktet fra. Er det helt tilfældigt eller er det udledt af punktet, der er givet i opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. september 2016 af mathon

3D
   Et punkt P 's afstand til en linje med retningsvektor $\overrightarrow{r}$ og hvorpå P_o er et fast punkt
   er:
   $d=\frac{\left | \overrightarrow{r} \times\overrightarrow{P_oP}\right |}{\left | \overrightarrow{r} \right |}$ som når $\overrightarrow{r}$ er en enhedsvektor
udarter til:

$d=\left | \overrightarrow{r} \times\overrightarrow{OP}\right |$

afstand fra P til -aksen:

$d=\left | \overrightarrow{i} \times\overrightarrow{OP}\right |=\left | \begin{pmatrix} 1\\0 \\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 4\\2 \\ 3 \end{pmatrix} \right |=\left | \begin{pmatrix} 0\\-3 \\ 2 \end{pmatrix} \right |=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}$

afstand fra P til -aksen:

$d=\left | \overrightarrow{j} \times\overrightarrow{OP}\right |=\left | \begin{pmatrix} 0\\1 \\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 4\\2 \\ 3 \end{pmatrix} \right |=\left | \begin{pmatrix} 3\\0 \\ -4 \end{pmatrix} \right |=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$

afstand fra P til -aksen:

$d=\left | \overrightarrow{k} \times\overrightarrow{OP}\right |=\left | \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 4\\2 \\ 3 \end{pmatrix} \right |=\left | \begin{pmatrix} -2\\4 \\ 0 \end{pmatrix} \right |=\sqrt{(-2)^2+4^2}=2\sqrt{5}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. september 2016 af Soeffi

#8 Du definerer et plan ud fra 3 punkter i planen, som du selv vælger.

For xy-planen kan det være A = (0,0,0), B = (1,0,0) og C = (0,1,0). Fælles for disse punkter er, at de har z-koordinaten 0.

Man konstruerer en normalvektor til planen ved at tage krydsproduktet: AB×AC = (1,0,0)×(0,1,0) = (0,0,1). Denne vektor kaldes for nemheds skyld n, dvs. en normalvektor til xy-planen er n = (0,0,1).

Planens ligning findes nu ved at bruge reglen om, at en vilkårlig vektor i planen står vinkelret på n. Lad en sådan vektor være AP, hvor P = (x,y,z) er et punkt i planen. Der gælder nu, at hvis n står vinkelret på AP, så er skalarproduktet af n og AP lig med nul eller:

P ligger i planen ⇒ n·AP = 0 ⇒ (0,0,1)·(x,y,z) = 0 ⇒ z = 0. Dvs. xy-planens ligning er z = 0.

Skriv et svar til: Afstand fra punkt til plan og akse (vektorer i rummet)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.