Matematik

Argumentation for a's betydning i en ekspotential funktion

15. juni 2017 af stxhaj (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, er der nogen der hjælpe mig med at argumenterer for følgende:

Betragt en eksponentialfunktion f(x) = ax . a) Bestem f ′ (x), og argumenter for, at f er aftagende, når 0 < a < 1, og voksende, når a > 1 b) Bestem f ″(x), og argumenter for, at enhver eksponentiel graf er opad hul (konveks).

Brugbart svar (1)

Svar #1
15. juni 2017 af mathon

kort funktionsanalyse for en eksponentialfunktion

Generelt:
$\small f(x)=b\cdot a^x\; \; \; \; \; \; a,b\in\mathbb{R}_+\backslash \{1\}$

$\small f{\, }'(x)=\left (\ln(a)\cdot b \right )\cdot a^x\; \; \; \; \; \; a^x>0$

$\small f{\, }''(x)=\left ( \ln^2(a) \cdot b \right )\cdot a^x$

som for
$\small \small\mathbf{\color{Red} 0<a<1}\! \! :$
$\small sign\left (f{\, }'(x) \right )=(-1)\cdot (+1)=(-1)$
dvs $\small f(x)$ er aftagende.

$\small \mathbf{\color{Red} a>1}\! \! :$
$\small sign\left (f{\, }'(x) \right )=+1)\cdot (+1)=(+1)$
dvs $\small f(x)$ er voksende.

for alle a:

$\small sign(f{\, }''(x))=\left ((+)\cdot (+) \right )\cdot (+)=\left ( + \right )$
dvs $\small f(x)$ er opad hul i hele sin definitionsmængde.

Svar #2
15. juni 2017 af stxhaj (Slettet)

#1
kort funktionsanalyse for en eksponentialfunktion

Generelt:
   $\small f(x)=b\cdot a^x\; \; \; \; \; \; a,b\in\mathbb{R}_+\backslash \{1\}$

   $\small f{\, }'(x)=\left (\ln(a)\cdot b \right )\cdot a^x\; \; \; \; \; \; a^x>0$

   $\small f{\, }''(x)=\left ( \ln^2(a) \cdot b \right )\cdot a^x$

som for
$\small \small\mathbf{\color{Red} 0<a<1}\! \! :$
      $\small sign\left (f{\, }'(x) \right )=(-1)\cdot (+1)=(-1)$
     dvs $\small f(x)$ er aftagende.

$\small \mathbf{\color{Red} a>1}\! \! :$
$\small sign\left (f{\, }'(x) \right )=+1)\cdot (+1)=(+1)$
dvs $\small f(x)$ er voksende.

for alle a:

$\small sign(f{\, }''(x))=\left ((+)\cdot (+) \right )\cdot (+)=\left ( + \right )$
   dvs $\small f(x)$ er opad hul i hele sin definitionsmængde.

Perfekt. Jeg takker mange gange :)

Skriv et svar til: Argumentation for a's betydning i en ekspotential funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.