Andengradsligning og hel løsning

Med en hel løsning mener du så, at x er et helt tal? I såfald er min umiddelbare tanke at antage a, b, c er ulige tal. Da vil der findes n₁, n₂, n₃ som er hele tal og a = 2n₁ + 1, b = 2n₂+1, c = 2n₃+1. Herefter kan du sætte ind i den klassiske formel for løsninger til andengradsligninger og forhåbentlig komme frem til at x ikke er et helt tal.

Det kan muligvis gøres smartere, men det ville umiddelbart være det spor, som jeg ville forfølge, hvis jeg stod overfor den opgave.

Lad a,b,c være hele tal. Lad d være en hel rod. Dermed gælder

(2 a + 1) d² + (2 b + 1) d + (2 c + 1) = 0

Isoler b

Hvis d er ulige haves
tæller: (-lige - lige - ulige - ulige - ulige) = ulige
nævner: 2 * ulige
- Altså hel = b = ulige/ulige/2 = (ikke lige)/2 = ikke hel

Hvis d er lige haves
tæller: (-lige - lige - lige - lige - ulige) = ulige
nævner: 2 * lige = lige
 - Altså hel = b = tæller/nævner = ikke hel

Sæt L := {2n : n ∈ Z}, U := {2n + 1 : n ∈ Z} og f(x) := ax² + bx + c. Påstanden siger formelt, at

          (a,b,c ∈ U) ⇒ (∀x ∈ Z)[ f(x) ≠ 0 ].

Hvis man negerer det, får man

          (a,b,c ∈ U) Λ (∃x ∈ Z)[ f(x) = 0 ].

Du kan vise, om den negerede påstand er falsk. Antag at a,b og c er ulige, og antag at x er en hel løsning til f(x) = 0. Del op i to tilfælde, hvor x ∈ L og x ∈ U. Det ser ud til, at f(x) ∈ U i begge tilfælde (prøv selv), men 0 er ikke i U.

Anvend at den egenskab ved et tal at være lige eller ulige kaldes tallets paritet. To tal der har samme paritet (dvs. at begge er lige eller ulige), giver et lige tal som resultat, når man lægger dem sammen eller trækker dem fra hinanden. For at få et ulige tal, skal man altså regne med to tal af forskellig paritet.