Rødder for et polynomium.

Et N'te ordens polynomium har har N rødder ( basta ), men nogle af dem kan være komplekse. I opgaven tælles sidstnævnte tilsyneladende ikke med.

Ved differentiation kan man bestemme hvor polynomiet har vandret tangent, altså lokalt toppunkt.

Hvis to på hinanden følgende toppunkter har forskelligt fortegn, må grafen jo krydse x-aksen et sted mellem disse toppunkter, hvorfor funktionen har en reel rod i dette interval. At tælle på fingrene.

Det forstår jeg ikke noget af.

Betyder det så bare at det jeg egentlig skal svare til det spørgsmål er at et n'te ordens polynomium har n antal rødder, max? Det kan jo godt ske at fx. et 3grads kun har to rødder.

Hvad tænker du om det? Virker det helt forkert?

Et 3. ordens polynomium kan have:

-  3 reelle rødder

-  1 reel rod + 2 komplekse rødder.

Jeg tænker at det her er lidt omstændeligt at forklare, men det må stå forklaret i din bog på henved 12 sider.

Jeg vil opfordre dig til at slå op i den, og hvis du ikke forstår dele af den, kan du stille mere specifikke spørgsmål her.

Der står nok ikke så meget om komplekse rødder, men de indgår helt naturligt på videregående niveau, og finder anvendelse på lige fod med reelle rødder.

Hejsa

Hvad vil det sige at jeg skal kommentere antallet af rødder for et polynomium?

Så vidt jeg husker er et reel polynomium er først og fremmest en funktion bestående af to eller flere potensled. En rod af et polynomium, som vi betegner med bogstavet , er dernæst et geometrisk begreb for løsningen af ligningen .  Du ved f.eks. at et 2.gradspolynomium kan højst have  2 rødder/løsninger. Nu kan du spørge om hvad har rødder i et polynomium at gøre med dit eksamensspørgsmål:

Redegør for, hvordan man bruger differentialregning til at bestemme monotoniforhold for funktioner, og kommentér herunder antallet af rødder for et polynomium.

For at gøre forklaringen enkel vil vi kun betragte funktionsklassen polynomier. Et polynomium har den vigtige egenskab som er differentiabilitet og når monitoniforholdet for et polynomium skal bestemmes , skal denne denne egenskab netop bruges.  Monitoniforholdet består i at finde evt. maks.- minimumsværdier og finde intervaller i definitionsmænden hvor polynomiet er aftagende/stigende. Alt dette gøres ved at differentiere polynomiet og bestemmer antallet af rødder. Antallet af rødder indikerer antallet af intevaller i definitionsmængden. Hvis der tale om netop én rod, så vil polynomiet enten være stigende først og dernæst aftagende eller omvendt.

Som du kan læse er begreberne, polynomium, rod og monitoniforhold kædet sammen på en måde så eksamensspørgsmålet kan besvares.